Фильтрация исходного временного ряда.
Сглаживание применяется для устранения случайных отклонений (шума) из экспериментальных значений исходного ряда. Сглаживание производится с помощью многочленов, приближающих (обычно по методу наименьших квадратов) группы опытных точек.
Наилучшее сглаживание получается для средних точек группы, поэтому желательно выбирать нечетное количество точек в сглаживаемой группе. Обычно их выбирают три или пять. Например, по первым трем точкам (ух, у2, *) сглаживают среднюю у2, затем по следующей тройке (у2, *) сглаживают ,3 и т. д. Крайние точки сглаживают по специальным формулам.
Чаще всего для сглаживания применяют линейную зависимость. Тогда формулы сглаживания для групп из трех точек имеют вид:
+,о+:у+І); (6Л1>
*1 = 1 +2Уо + 1)! <6Л2>
*1 1 + 2,о (6ЛЗ>
где у0, у0 — значения исходной и сглаженной функций в средней точке группы;
У-1, У-1 — значения исходной и сглаженной функций в левой точке группы;
у+ь у+{ - значения исходной и сглаженной функций в правой точке группы.
Формулы (6.12), (6.13) применяются для сглаживания крайних точек ряда. Для сглаживания по пяти точкам формулы имеют вид:
Уо = \(У-г + ,-1 +Уо + У+і +^+2); (6Л4>
У-1 = 2 + 2,о + У+і); (6Л5>
*1 1 +2,0 +3*1 +4*2); (6.16)
Р-2 = \Oy-2 +2,0 + У+1 (6Л?)
=|(-,-2 +,0+2*1 +3*2). (6.18)
Сглаживание (даже в простом линейном варианте) является во многих случаях эффективным средством выявления тренда при на- линии в экспериментальных точках случайных помех и ошибок измерения.
Выравнивание применяется для более удобного представления исходного ряда без изменения его числовых значений. Выравниванием называется приведение исходной эмпирической формулы
y=AUa,b), (6.19)
где t — время,
a, b — параметры,
к виду
у = ахТ+Ьц. (6.20)
Использование двухпараметрической зависимости (6.19) объясняется ее наибольшим распространением в практике прогнозирования и сравнительно простыми способами получения выравниваемых формул.
Функции с большим (чем 2) числом параметров вы-равниваются не всегда, и формулы имеют громоздкий вид.Наиболее распространенными способами выравнивания являются логарифмирование и замена переменных.
Пример 6.1. Дана исходная функция у = atb.
Логарифмируя, получим lgy = Iga + b • lgt.
Вводя замену переменных, имеем: Г= lg/; У= lgy; У = ахГ + Ьх, где ах = b; bx = lg а.
Перестроив исходные данные (точки) на логарифмической бумаге, получим линейную зависимость, с которой легче работать и определять коэффициенты. Затем нужно пересчитать результаты по формулам, обратным исходному преобразованию.
Пример 6.2. Дана исходная формула у = а • еьК
Выравнивание lgy = Iga + b • t • lge; ax = b • lge; bx = lg a, тогда
Y= lgy = bx + ax - t.
Пример 6.3. Дана исходная формула у = —.
at + b
Выравнивание У = — = а* +b.
У
Пример 6.4. Дана исходная формула у = ——.
a + b е *
Выравнивание ^ Т-e~l\ ax=b; b\=a; У = bi+ax-T.
Можно рассматривать выравнивание не как метод представления исходного динамического ряда, а как метод непосредственно- го приближенного определения параметров аппроксимирующей функции, что часто и делается на практике.