<<
>>

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I.

Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где – многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)– многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Итого, частное решение:

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m– большая из степеней m1 и m2.

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений

и

Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

Пример. Решить уравнение

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (–sinx).

Составим и решим характеристическое уравнение:

1. Для функции f1(x) решение ищем в виде .

Получаем: Т.е.

Итого:

2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f2(x), получаем:

Таким образом,

Итого:

Т.е. искомое частное решение имеет вид:

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Рассмотрим примеры применения описанных методов.

Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение. Совокупность соотношений вида:

где х– независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

(1)

Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n–1) –мерного пространства функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям

Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.:

  1. § 57, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
  2. Вопросы для самопроверки
  3. § 1. УРАВНЕНИЕ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ
  4. Содержание дисциплины
  5. Уравнения Лагранжа и Клеро.
  6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
  7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
  8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  9. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
  10. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  11. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  12. 4.3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
  13. Виды дифференциальных уравнений
  14. 2. Понятия и предложения из теории функций и функционального анализа
  15. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  16. 2. Задачи на собственные значения
  17. 4. Метод собственных функций
  18. 16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Метод вариации произвольной постоянной
  19. 21. Разностные уравнения. Линейные разностные уравнения.
  20. 27. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами