Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.

Пример. Если , то при х®0 , т.е. функция a – бесконечно малая порядка 2 относительно функции b.

Пример. Если , то при х®0 не существует, т.е. функция a и b несравнимы.