<<
>>

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1) a ~ a,

2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,

3) Если a ~ b, то b ~ a,

4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и или .

Следствие: а) если a ~ a1 и , то и

б) если b ~ b1 и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx = при х®0, то .

Пример. Найти предел

Если a и b – бесконечно малые при х®а, причем b – бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b – бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

Тогда говорят, что a – главная часть бесконечно малой функции g.

Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда

.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Свойства эквивалентных бесконечно малых.:

  1. ФАУСТОВСКОЕ И АПОЛЛОНОВСКОЕ ПОЗНАНИЕ ПРИРОДЫ
  2. Вопросы для самопроверки
  3. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  4. Пифагор и последователи
  5. 1.11. По здравому смыслу и вопреки ему
  6. Свойства электрических полей
  7. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  8. Приложение I (для коммунистов): "Перлы" диалектики марксизма
  9. Модель макроэкономики и кризисов
  10. 2.2. Предел. Непрерывность функции.
  11. Содержание дисциплины
  12. Свойства эквивалентных бесконечно малых.
  13. ГИПАТИЯ, ИЛИ РАСТЕРЗАННАЯ МУЗА. К 1600-ЛЕТИЮ КАЗНИ ОТ РУК ФАНАТИКОВ-ХРИСТИАН