Свойства эквивалентных бесконечно малых.
1) a ~ a, 
2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g, 
3) Если a ~ b, то b ~ a, 
4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и 
, то и 
или 
.
Следствие: а) если a ~ a1 и , то и 
б) если b ~ b1 и , то 
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
Пример. Найти предел 
Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:
Пример. Найти предел 
.
Так как 1 – cosx = 
при х®0, то 
.
Пример. Найти предел 
Если a и b – бесконечно малые при х®а, причем b – бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b – бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством 
.
Тогда говорят, что a – главная часть бесконечно малой функции g.
Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда
.
Еще по теме Свойства эквивалентных бесконечно малых.:
- Сравнение бесконечно малых функций.
- 14. "Введение в анализ бесконечно малых" Эйлера
- Теорема 16. Из необходимости божественной природы должно вытекать бесконечное множество вещей бесконечно многими способами (т.е. все, что только может представить себе бесконечный разум).
- §6. Бесконечно малые в точке функции и их свойства.
- 1.3. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции. Предел функции на бесконечности.
- Теорема 4. Идея бога, из которой вытекает бесконечно многое бесконечно многими способами, может быть только одна.
- 13. Межличностные отношения в малых группах. Конфликты в малых группах. Оптимизация социально-психологического климата в школьных коллективах.
- Теорема 11. Бог, или субстанция, состоящая из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность, необходимо существует.
- Теорема 21. Все, что вытекает из абсолютной природы какого-либо атрибута бога, должно обладать вечным и бесконечным существованием, иными словами, через посредство этого атрибута все это вечно и бесконечно.
- Суждения эквивалентности
- §5. Предел функции в точке. Свойства функций,имеющих предел в точке. Предел на бесконечности.
- Эквивалентные ставки
- б) Принцип эквивалентности