Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:

Графически можно представить:

y y

A A

0 0

x x

y y

A A

0 0

x x

Аналогично можно определить пределы для любого х>M и

для любого х0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ? 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx – aï < D

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)(если х®¥ ) и не обращается в ноль, то