2.1. Определение предела функции

Число а называется пределом функции при , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

Число а называется левосторонним пределом функции f(x) при (слева), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

Число а называется правосторонним пределом функции f(x) при (справа), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

Односторонние пределы удобно обозначать так:

Необходимое и достаточное условие существования предела с помощью односторонних пределов можно записать так:

Предел на бесконечности (при ).

Число a называется пределом функции f (x) при (или , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

Пример 2.1. Доказать (найти , что:

а) , б)

Решение. а) Надо доказать, что для , для которых , выполняется неравенство для . Имеем:

Примем .

Итак, для такое, что для , для которых .

б) Пусть ,

Тогда

Здесь в числителе пользуемся неравенством а в знаменателе пользуемся неравенством .

Пусть . Тогда .

Итак, для такое, что неравенство выполняется для всех x, для которых .