1.3. Свойства передела

1. Предел линейной комбинации

. (1.2)

2. Предел произведения

(1.3)

3. Предел частного

, если . (1.4)

4. Предел отношения многочленов

Пусть x_n и y_n многочлены от n степени k и m соответственно, т.е.

x_n=P_k(n)=a₀ n^k+a₁n^k-1+...+a_k, y_n=Q_m(n)=b₀n^m+b₁n^m-1+...+b_m

Докажем, что предел отношения многочленов равен пределу отношения их старших членов, т.е.

(1.5)

Имеем: , что и требовалось.

Итак,

(1.6)

Пример 1.2. Найти пределы:

а) б) ,

в)

Решение.

а)

б),

в) .

Следует отметить, что формулы (1.5) и (1.6) справедливы не только для многочленов целой степени, но и для многочленов дробной степени, так как для любого a>0.

Пример 1.3. Найти пределы.

а) ,

б) ,

в) , г) ,

д) , е) .

Решение:

а) В числителе три слагаемых соответственно степени: Следовательно, степень числителя равна , а главный член в числителе равен . Аналогично, главный член в знаменателе Имеем по формулам (1.5) и (1.6):

а)

б)

в)

т.к.

Здесь также можно было использовать идею, что главный член это старший член. Имеем:

г) .

Как видите, идея о главном старшем члене здесь также дает быстрое решение.

Обычно этот предел вычисляется так:

д)

е) Напомним: . Имеем:

Пример 1.4. (Неопределенности )

а) , б)

в) .

Решение. Для избавления от неопределенности здесь следует избавиться от иррациональности в числителе, умножив и разделив данное выражение на соответствующее сопряженное выражение.

а) Используем формулу

Для данного примера

Имеем:

а)

б) Напоминаем, что и при .

Имеем:

в)

Пример 1.5. Найти предел последовательности, заданной рекуррентным соотношением:

, .

Решение. Сначала докажем, что существует этот предел, используя теорему о существовании предела монотонно возрастающей и ограниченной сверху последовательности.

Возрастание последовательности очевидно:

⁽ⁿ^{+1) корней} ⁿ ^корней

Для доказательства ограниченности последовательности заменим в последнем слагаемом 2 на 4.

Итак, . Тогда, переходя в равенстве к пределу при , получим:

, (не удовлетворяет, т.к. x_n > 0)

Следовательно, .

Пример 1.6. Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что .

Решение. Имеем:

Решив неравенство , получим и ясно, что достаточно выбрать , чтобы для неравенство выполнялось для всех n>N. Что и требовалось.

Задачи к §1

Найти пределы:

1.			2.
3.			4.
5.			6.
7.
8.
9.
10.
11.			12.
13.
14.
15.
16.
17.			18.
19.
20.
21.
22.
23.		24.
25.
26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.
34.
35.	36.
37.	38.
39.	40.
41.	42.
43.	44.
45.
46.
47.
48.^*
49.^*
50.^*
51.^*
52.^*