Предел функции в точке.
y f(x)
A + e
A
A – e
0 a – D a a + D x
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е.
в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что
0 < ïx – aï < D
верно неравенство ïf(x) – Aï< e.
То же определение может быть записано в другом виде:
Если а – D < x < a + D, x ? a, то верно неравенство А – e < f(x) < A + e.
Запись предела функции в точке: 
Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то 
– называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то 
называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.
у
f(x)
А2
А1
0 a x
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).
Еще по теме Предел функции в точке.:
- §5. Предел функции в точке. Свойства функций,имеющих предел в точке. Предел на бесконечности.
- 1.1. Понятие предела функции в точке. Основные теоремы о пределах.
- § ІЗ. Предел функции в точке
- Связь между непрерывностью функции в точке и ее дифференцируемостью в этой точке.
- 1.2.10. Определение. Если существует производная функциив точке , то она называется первой вариацией функционала в точке при данной вариации аргумента, и обозначается :
- Частные производные первого порядка функции нескольких переменных. Условие дифференцируемости функции в точке.
- Определение области. Линии уровня функции. Направление наибольшего возрастания (убывания) функции в точке. Градиент.
- Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.
- Непрерывность функции в точке.
- Односторонние производные функции в точке.
- § 19, Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл
- §2. Предел функции. Методы вычисления предела функции
- Свойства функций непрерывных в точке.
- Локальный экстремум функции. Достаточное условие экстремума функции многих переменных в критической точке при отсутствии ограничений.
- Тема 12. Предел функции. Эквивалентные функции.
- §6. Бесконечно малые в точке функции и их свойства.