§ ІЗ. Предел функции в точке

Важным частным случаем упорядоченной переменной величины является тот случай, когда имеется возможность пронумеровать все её последующие значения .Такай переменная величина

называется числовой последовательностью (о числовой последовательности см- § 17}, Однако не следует думать, что всякую упорядоченную перемен кую величину можно за ну мер она ть.

?

Рас. 48 -- 151

Пусть точка А, последовательно перемещаясь по оси Ох, приближается к точке ал т.е, в любой близости от а содержатся значения х, ОТЛИЧЕІЬІЄ от а. Условимся считать, что х' будет следовать за х, если \х' — а < |аг —Значит, следующим будет то значение, которое ближе к а, г е. переменная величина будет упорядоченной по убыванию \х — — а|. Если при дальнейшем перемещении точка А остаётся внутри любого наперед заданного малого отрезка длиной оси Ох с серединой в точке X = ft, то число й есть предел переменной величины х (см, ркс. 48).

Таким образом, число а называется пределом переменной величи-ны х, если для любого наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа ? можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству \х — л| < ?.

Отметим, что из определения предела следует:

предел постоянной величины С piiucK самой постоянной величине С (величина ]С — С\ =0 меньше любого положительного числа е);

переменная величина не может стремиться к двум различным пределам, но не всякая переменная величина имеет предел, Напрнмера переменная величина sin а при последовательном увеличении ос колеблется между —1 и I и предела не имеет.

Если а есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится к пределу а и пишут; х —> а или lim х ~ а.

Пусть а — О, тогда точка А ври этом будет оставаться внутри отрезка длиной 2є> но с серединой в точке х — О, В этом случае говорят, что величина х стремится к нулю, или есть величина бесконечно малая.

Таким образом, переменная величина х стремится к нулю или является бесконечно малой, если при любом заданном положительном є существует такое значение величины xt что для всех последующих значений выполнено неравенство |х| <

Переменная величина х называется ограничеш-гой, если существует такое положительное число М„ что для всех последующих значений переменной, начиная с некоторого, справедливо неравенство ]ж] < М.

Пусть точка А перемещается го оси Ох так, что какой бы большой отрезок длины 2М с серединой ь начале координат мы ни взяли, точка А прн дальнейшем перемещении будет оставаться вне этого отрезка, В этом случае говорят, что величина х стремится к бесконечности или есть бесконечно большая.

Величина х называется бесконечно большой, если при любом заданном положительном числе М, кап бы велико оно ни было, существует такое значение переменной х, что для всех последующих значений х выполняется неравенство \х\ > М.

Рассмотрим две переменные хну, связанные функциональной зависимостью у - f(x). Пусть х упорядочена по убыванию \х — а\ т. е<> а есть предел х. При этом f(x) есть упорядоченная переменная. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а или а некоторых точках этой окрестности. Тогда постоянная величина Ъ называется пределом функции /(а:) при з а, если для всякого сколь угодно малого положительного числа Е можно указать такое положительное число <5, что неравенство j /(х) - <є выполняется для всех х, удовлетворяющих условию 0 < \х - А] < & Если Ь есть предел функции f{x) прн х а, то пишут lim j(x) = Ь. Для существования предела

функции прн х ' о не требуется, чтобы функция была определена

(дг-3)Са + 3)

х — 3

-6 — |х 4- 3 - 6| = \х — 3| < в.

Таким образом, при произвольном є неравенство |/(а;) — 6[ < z будет выполняться, если будет выполняться неравенство |а; — 3| Если f(x) стремится к пределу Ьі при х —> а так, что х принимает только значения меньше а, то пишут lim J(x) = bi. н называют bj

і—¦ ? —О

пределом слева функции f(x) в точке а. Если же х принимает значения больше а, то пишут Ііш f[x) = Ь2 и называют пределом справа

ї'на+О

функции f(x) в точке а. Если же пределы справа и слева существуют и равны, т. е. = = Ь, то b и будет пределом в смысле данного выше определения предела функции в точке а, и обратно, если существует предел функции в точке а, то существуют пределы функции в точке о слева и справа и они равны.

Пусть /(зс) определена для всех х, достаточно больших по абсолют- нон величине! т. е, хоо, Тогда функция f(x) стремится к пределу b при х oot если для каждого произвольно малого є можно указать такое положительное число М, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству \х\ > М, будет выполняться неравенство J/(ar) — Ь| < < є,

Функция у = f(x) называется бесконечно большой при х —» а, если для любого наперёд выбранного положительного числа А/, как бы велико оно не было, можно указать такое число 5 > 0, что |/(a;)j > М лишь только 0 < [да — а\ < $.