§ 15. Основные теоремы о пределах

Тс рема 2.

Доказательство Проведём доказательство для двух слагаемых, гак как для любого чи^ла оно проводится аналогично.

Пусть lim fi{x) — Лі и lim/г(л;) = Аз, тогда на основании теоре-

¦Г '—•Я JT —ft

мы I можно записать /і(з) = А\ -Нй^т) и h{x) — Аі + где осі

и П2 — бесконечно малые. Для суммы /і(^) ¦+¦ гі(х) ~ Ui -+- УІз) + -f- (лі J n-j) Так как (A] + .4?) есть постоянная величина, a (at ¦+- т^) бесконечно малая, тс на основании тон же теоремы имеем:

1І1Ї1 [Л{х) + /2(*)] = Ji f Л2 - V. Л /,(*) Ь i; і

Х—*С1 Г I х- I

Теорема 3. Предел проиэззіения конл ьд- міст fiej>e ^енны* равен произведению пределов этих переменных.

lira Mx)f2(x)...fk{x) = Ііш Ji(x) Ній /д.ф., Vim ДП).

Доказательство. Для сокращения записи проведем докааатель- ство для двух сомножителей. Пусть lim fx(x) — Аі ii Hm(х) =. А^

тогда по теореме 1 имеем: /і (я) — лГ+ at(x)t /2(х) + О) и

+ О] (а*)}(-42 + 02(f)) ™ А\А2 + otj Л2 + ctiA\ + Произведение АіА'2 есть постоянная величина, а (сиЛг -г ск^Аі -f бесконечно малан (см. § 14), тогда

Jim Мх) - Мх)^ 1їі?Ж(-Аі-4а + (fuA2 +а2Лі -гаїсїз)] =

-ЭГ ?1

= A] A? — lim fi(x) - lim /іг(дО.

Ічв я—HI

Следствие J. Jim [/{r)]n = [ \hn /(х)]п - предел иелой положительной степени переменной, имеющей предел, равен той же степени предела cavoro ос ювання

Следствие 2, Иш [С - /(а:)] — С ¦ lim fix) — постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 4, Предел частного двух переменных равен частному этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

fl(_\ lint /і (л) lim - т^-гт-т» если lim f2(x) ф О,

т— а /Да) hm/з(ЗГ) 1 f *

Доказательство.

Л—Ч» г-41

тогда fi(x) = Ai 4- лця) и /2(3?) ~ + Следовательно,

/і(др __ Лі + ai _ Лі | И| + on Лд _ | OilАъ — йгЛ: + cv^ ЛЇ Иа + Аа М Лц(Аа+аз)"

Дробь ЛіУЛу — величина постоянная, а вторая дробь — бесконечно мала ft, так как (ajA2 — ОгА^) — бесконечно малая, а знаменатель стремится к А* ф 0, Поэтому

lim = lim

І—*а Ja^J я^в

щАъ - а-іЛЛ ^ Лі ^ Jj^^W +03} У ~ Л2 Ijrn

Пример, Известно, что lim /і (я) = Л, Ііш /а(х) = Б. Найти:

о й» - */1(*)1Г

2) Ііш

Jim Щ±і

lim (ї/а{т) + /?(х) - 2Л(«JAW):

5) Urn "'АИ-ЯМЬ1 (1 + /?(*)/І(*)>

Решение.

і} Шп [*»/?(*) - І/Й®)] « - аБ2. 2) litn - (вА(ї)] - Аел - tg В.

і —* у

31 1ітЖ±і-

Вт (г/а(я?) + ff(x) - 2fl{x)f2{x)) — аВ + А3 — 2АВ.

lim - jffo)І? ^ + /?(*)/?(*)> =

І—» и У

Теорема S. Предел отношения двух многочленов при условии, что аргумент стремится к бесконечности, равен пределу отношения их

старших членов:

т-1

Атхт + Лт-ух

+

+ Л = ш А^Г

Ііш

Впхп + Д^х^ТТ.. + Во ~~

{

О при т < п,

Лщ/Вп притоп, оо при тп > п.

Пример II. Найти пределы

1, lira 2) lim 3) lim

x^w 1 — 5jt c-too 2x - 10 + U

Решение.

1) bin —-—^— = hm г—4 - hm ) = - = ; X -1QO 1 — 51 Л—^00 —t—KM V О ) a

OX

2) lim

x + 2x — 1 i" ,. x

-- lim

x—і-со 2x

J2

2x - 10

— lim — — со; I—K5C 2

3) lim — lim — lim —ї-т — 0.

да—too 2x +11 x—» 2x »od 2i

v/27a:3 + 4* - 1

t) lim

"Z—>co

X-r 1

Пример 2. Найти пределы: + х + 2) lim

і—да 100

V^ -2X + 1 4- v/^+5

3) lim

ї^оо S/tfi + бя* + 1 - + 3-т* +1 T

4} lim (x + 10); 5) lim sin2 e^.

x—+±oo x + 5 x—«оо

Решение. При нахождении пределов такого вида можно воспользоваться теоремой S.

у/з? + X + 1

Г) lira

Я—'ОО

X + 1

= lim — = lim Д- = 0;

Е—*00 X

2) Вт ЩШ^І = Ііт З» =3; *'

я—ой + 100 1

3} Ит

2х + 1 + s/x* + 5 „

— um

1

JB^OQ S/^fi + j _ У^ +Ях3 + 1 _

— — Нт х иГ — —оо;

4) lira

X—35 +5

+ lim Ига Л-

со X

х—"dzoo а:

lt если х —> оо, — I, если х -+ do;

109

?111

Д+1

5) lim sin2 ез*-1' ^ sin2 і^1"™ ^ *=sln2e1^s.

І—>?»

Задание.

1. lira + х - х) = Иm -—t-T--^-

г — М Н-л; Ц- л;

I - X ,. X 1

= bm д™ =

j. t—*(» J з: J

In

S

7 *

a:

2. lim

= Jim

In (хв 1)

In (x + 4r - l) e-»oa

— arcsin (-1) =

1 — X

3. lim arcsin ¦¦¦¦¦¦ -

J—1 4 x

4. lim arctg = arctg Ism ¦ * 3 a = arctg (-oo) = - J;

л—• J fa; — 1 a?—>1 (a; — It -s

5, lim arccos (-/x2 + x - x) - arccos ^ « -;

3t-6. lim Ґ\А + xc -h DC3 - \/lL - і 4 X2 ) -

Ігі + ї2- і

И ^ , _ = Inn — — 1;

I--KM 2х

I—too \ /

= lim

yl + X + я2 4- \Л ~ ? +

7 Г + _ ,. In 5" In 5

г х1^ 1н (1 4 6х) ~ * In 6х 1пв"

& ]п(1+7"*х) In 7 о. lim -—7 -f = lim — -——;

¦-'-«) 1л (1 +9 ) Я-+-М 1иВ

lim ^ = 1;

в—I*м т/Х

уЯ+у/І

9, lim

hn — = lii

-^оо у/и: 1 х—

10. lim ( fyx3 + ~ - їх) =

им \ /

= Jim^ Wy/яР + 3ха -я) 4 (х-у/з? - 2х^ ¦

— lim

к ( З/.т3 4- - z) ( vV + Зя* + * v/д3 + Зіа 4 аг2) У (л;3 4 Зі2)1 4 х у/іЧЗї1 + іа

(х - -Jz2 - (х 4 \/х2 - 2аЛ

+ lim —. ^ -

а^» ж 4 VE* - 2х

/ За;2 \ - lira ( —~

ост \3х2 J

4 lim ^ - I 4 1 = 2.

Приведём без доказательства важньїе для дальнейшего дає теоремы.

Теорема 6. Если переменная у возрастает, т. е. всякое последующее "значение больше предыдущего и при этом она ограничена, т.е. \у\ < М, то эта величина имеет предел Иту= А, где Л ^ М.

Теорема 7. Если между соответствующими значениями трёх функций /2(я), /з(^), выполняется неравенство fi(x) < и при ЭТОМ fi(s) И при x -у а (или при x —у оо) стремятся к одному н тому же пределу то /з (х) при х —» а (или при X —? оо) стремится к тому же пределу.

Два замечательных предела. В курсе математического анализа имеют важное значение два предела, нахождение которых выполняется специальными приёмами.

1 Первый замечательный предел: lim = 1.

г t 1-40 X

sin х

Функция 1— не определена при х = 0, так как числитель и знаменатель дроби при х = 0 обращаются в нуль.

Для нахождения этого предела рассмотрим окружность единичного радиуса {R= 1).

S*ocb - і \ОВ\ ¦ \АС\ = \ \ОВ\ \OC\smx=± sins, (|ОВ| = \ОС\ Я = 1),

SbOBD = \ \ов\ ¦ \ВЩ = А \0В\. \0В\, = 1 tga!i

то имеем неравенство sin аг < аз < tgz. Разделив все члены на sinх, получим

і J х 1 . sin х

1 < -—- < или 1 > — > cos х.

sin X СОЬХ X

двумя величинами, имеющими один и тот предел, равный единице.

Sin я;

= 1.

На основании теоремы 7 имеем: lim

Следствие. Если х стремится и нулю, то и (aarj, где а — постоянная, стремится к нулю, поэтому

ч. sin ах -,

ІІЇТ1 = 1.

і-—о ах

Пример. Найти пределы:

.ч .. am 7s: п. Bin Л а; ,, sdnlDQ* ,. an а 1; Ііш ; 2) Ііш -- ь- ; 3) lim ; 4) Ііш -т—-яг

я^О 33 і—О 3111 Вт ЯГ а-*Овтв

5) lim 6} lim 5Й2; 7) lim ^^

ar—fflQ a: + 3cosar х a:—х

Решение,

Sill 7х -V аіїі7я; п , „

1) Ііш —— = 7 піп —7-1 = 7.

л—.0 X 7х

Bx

„і t, si л Ля п. AxsmAx 2) lira -г—ss- — Jim

Ax

Btn Bx Bx

am Zte і—0

A si(іЛл Ді

- г- Inn — lim — -n-

B T^Q Л it sui Ux

В Л

¦чіп 1 ПП-r 1

3) lim — — ііш - ¦ ain їООл; = 0 (произведение Йесконечнс

t^co je z

малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая).

4) ІІШ ^ = lini (йг)"О» ¦ (>-V) 4 = lim ? . I = 'а—оэта a-o V а / и й-Ю ас

0

— 2.

1+0

5) lim a = Ііш -—і—

X

6) lim = lim ^^ ¦ —— =1*1 = 1.

x—>0 X x—tО X СОЙ X

a x

2 2"

,. I -coa I 2БІп 2 1 17) hm ——t = 11m тр^ — - lim . ,

и— fl д a: 2 ^ (x/2)

При решении задач удобно пользоваться также следующими обобщениями второго замечательного предела:

( 1 \Лт)

J. Шп ( 1 + j^y ) = e, где f(x) ос при x a;

lim (1 4- - e, гдг 0 при x a;

lim (l + -)mx = ekm; lim - lim (1 + ktsp -

Если число e служит основанием логарифма, то логарифмы называются натуральными или неперовнмн логарифмами и обозначаются In. Так, если х — е* то логарифмируя по основанию е, имеем 1пя ¦== - ~ — у In є = у, т. е, у = 1п х.

Пример» Найти пределы:

ki її Ї 2

1) lim А + -Ї ї 2) Hm 3) lim (і - sin2я)

4) lim (1 + shi7Tz)ctEfri; 5) limfar + e")»; 6} lim (1 +

i-il x—'О з: —»0 ^ '

f fe\

сделаем замену

Решение, 1) Для нахождения lim (1-j-- J

OQ \ xj

t - kfxt при x —ь оо t —t и, тогда

mi+l г и mJt

= emk • 1 = emk.

lim Vl + bx = = ]im(l + здесь сделана замена bx = t, при x —+ 0 t —> 0.

В этом примере сделаем замену sin2 х - f, тогда при х —* 0 ( —+

—* 0, и

Jim (I - sin2 х) ^ = Цш(1 -t)f ~ е^1,

ї—О

так как LIm( 1 + =

cos 2tti

4) lim (1 + sin 2ТГХ)с1е *T3T = lim (1 - sin 2*z) ^fe |

X — L X—>I [

Urn

a—'1

Непрерывность функций