§ 15. Основные теоремы о пределах
Тс рема 2.
Предел алгебраической ^ыаы конечного числа переменных равен алгебраической сумме приду л ив этих переменных.Доказательство Проведём доказательство для двух слагаемых, гак как для любого чи^ла оно проводится аналогично.
Пусть lim fi{x) — Лі и lim/г(л;) = Аз, тогда на основании теоре-
¦Г '—•Я JT —ft
мы I можно записать /і(з) = А\ -Нй^т) и h{x) — Аі + где осі
и П2 — бесконечно малые. Для суммы /і(^) ¦+¦ гі(х) ~ Ui -+- УІз) + -f- (лі J n-j) Так как (A] + .4?) есть постоянная величина, a (at ¦+- т^) бесконечно малая, тс на основании тон же теоремы имеем:
1І1Ї1 [Л{х) + /2(*)] = Ji f Л2 - V. Л /,(*) Ь i; і
Х—*С1 Г I х- I
Теорема 3. Предел проиэззіения конл ьд- міст fiej>e ^енны* равен произведению пределов этих переменных.
lira Mx)f2(x)...fk{x) = Ііш Ji(x) Ній /д.ф., Vim ДП).
Доказательство. Для сокращения записи проведем докааатель- ство для двух сомножителей. Пусть lim fx(x) — Аі ii Hm(х) =. А^
тогда по теореме 1 имеем: /і (я) — лГ+ at(x)t /2(х) + О) и
+ О] (а*)}(-42 + 02(f)) ™ А\А2 + otj Л2 + ctiA\ + Произведение АіА'2 есть постоянная величина, а (сиЛг -г ск^Аі -f бесконечно малан (см. § 14), тогда
Jim Мх) - Мх)^ 1їі?Ж(-Аі-4а + (fuA2 +а2Лі -гаїсїз)] =
-ЭГ ?1
= A] A? — lim fi(x) - lim /іг(дО.
Ічв я—HI
Следствие J. Jim [/{r)]n = [ \hn /(х)]п - предел иелой положительной степени переменной, имеющей предел, равен той же степени предела cavoro ос ювання
Следствие 2, Иш [С - /(а:)] — С ¦ lim fix) — постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Теорема 4, Предел частного двух переменных равен частному этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:
fl(_\ lint /і (л) lim - т^-гт-т» если lim f2(x) ф О,
т— а /Да) hm/з(ЗГ) 1 f *
Доказательство.
Пусть lim /і(я) — Аи lim fi(х) = >12 5і О,Л—Ч» г-41
тогда fi(x) = Ai 4- лця) и /2(3?) ~ + Следовательно,
/і(др __ Лі + ai _ Лі | И| + on Лд _ | OilАъ — йгЛ: + cv^ ЛЇ Иа + Аа М Лц(Аа+аз)"
Дробь ЛіУЛу — величина постоянная, а вторая дробь — бесконечно мала ft, так как (ajA2 — ОгА^) — бесконечно малая, а знаменатель стремится к А* ф 0, Поэтому
lim = lim
І—*а Ja^J я^в
щАъ - а-іЛЛ ^ Лі ^ Jj^^W +03} У ~ Л2 Ijrn
Пример, Известно, что lim /і (я) = Л, Ііш /а(х) = Б. Найти:
о й» - */1(*)1Г
2) Ііш
Jim Щ±і
lim (ї/а{т) + /?(х) - 2Л(«JAW):
5) Urn "'АИ-ЯМЬ1 (1 + /?(*)/І(*)>
Решение.
і} Шп [*»/?(*) - І/Й®)] « - аБ2. 2) litn - (вА(ї)] - Аел - tg В.
і —* у
31 1ітЖ±і-
Вт (г/а(я?) + ff(x) - 2fl{x)f2{x)) — аВ + А3 — 2АВ.
lim - jffo)І? ^ + /?(*)/?(*)> =
І—» и У
Теорема S. Предел отношения двух многочленов при условии, что аргумент стремится к бесконечности, равен пределу отношения их
старших членов:
т-1
Атхт + Лт-ух
+
+ Л = ш А^Г
Ііш
Впхп + Д^х^ТТ.. + Во ~~
{
О при т < п,
Лщ/Вп притоп, оо при тп > п.
Пример II. Найти пределы
1, lira 2) lim 3) lim
x^w 1 — 5jt c-too 2x - 10 + U
Решение.
1) bin —-—^— = hm г—4 - hm ) = - = ; X -1QO 1 — 51 Л—^00 —t—KM V О ) a
OX
2) lim
x + 2x — 1 i" ,. x
-- lim
x—і-со 2x
J2
2x - 10
— lim — — со; I—K5C 2
3) lim — lim — lim —ї-т — 0.
да—too 2x +11 x—» 2x »od 2i
v/27a:3 + 4* - 1
t) lim
"Z—>co
X-r 1
Пример 2. Найти пределы: + х + 2) lim
і—да 100
V^ -2X + 1 4- v/^+5
3) lim
ї^оо S/tfi + бя* + 1 - + 3-т* +1 T
4} lim (x + 10); 5) lim sin2 e^.
x—+±oo x + 5 x—«оо
Решение. При нахождении пределов такого вида можно воспользоваться теоремой S.
у/з? + X + 1
Г) lira
Я—'ОО
X + 1
= lim — = lim Д- = 0;
Е—*00 X
2) Вт ЩШ^І = Ііт З» =3; *'
я—ой + 100 1
3} Ит
2х + 1 + s/x* + 5 „
— um
1
JB^OQ S/^fi + j _ У^ +Ях3 + 1 _
— — Нт х иГ — —оо;
4) lira
X—35 +5
+ lim Ига Л-
со X
х—"dzoo а:
lt если х —> оо, — I, если х -+ do;
109
?111
Д+1
5) lim sin2 ез*-1' ^ sin2 і^1"™ ^ *=sln2e1^s.
І—>?»
Задание.
Проверить нахождение пределов:1. lira + х - х) = Иm -—t-T--^-
г — М Н-л; Ц- л;
I - X ,. X 1
= bm д™ =
j. t—*(» J з: J
In
S
7 *
a:
2. lim
= Jim
In (хв 1)
In (x + 4r - l) e-»oa
— arcsin (-1) =
1 — X
3. lim arcsin ¦¦¦¦¦¦ -
J—1 4 x
4. lim arctg = arctg Ism ¦ * 3 a = arctg (-oo) = - J;
л—• J fa; — 1 a?—>1 (a; — It -s
5, lim arccos (-/x2 + x - x) - arccos ^ « -;
3t- Ігі + ї2- і И ^ , _ = Inn — — 1; I--KM 2х I—too \ / = lim yl + X + я2 4- \Л ~ ? + 7 Г + _ ,. In 5" In 5 г х1^ 1н (1 4 6х) ~ * In 6х 1пв" & ]п(1+7"*х) In 7 о. lim -—7 -f = lim — -——; ¦-'-«) 1л (1 +9 ) Я-+-М 1иВ lim ^ = 1; в—I*м т/Х уЯ+у/І 9, lim hn — = lii -^оо у/и: 1 х— 10. lim ( fyx3 + ~ - їх) = им \ / = Jim^ Wy/яР + 3ха -я) 4 (х-у/з? - 2х^ ¦ — lim к ( З/.т3 4- - z) ( vV + Зя* + * v/д3 + Зіа 4 аг2) У (л;3 4 Зі2)1 4 х у/іЧЗї1 + іа (х - -Jz2 - (х 4 \/х2 - 2аЛ + lim —. ^ - а^» ж 4 VE* - 2х / За;2 \ - lira ( —~ ост \3х2 J 4 lim ^ - I 4 1 = 2. Приведём без доказательства важньїе для дальнейшего дає теоремы. Теорема 6. Если переменная у возрастает, т. е. всякое последующее "значение больше предыдущего и при этом она ограничена, т.е. \у\ < М, то эта величина имеет предел Иту= А, где Л ^ М. Теорема 7. Если между соответствующими значениями трёх функций /2(я), /з(^), выполняется неравенство fi(x) < и при ЭТОМ fi(s) И при x -у а (или при x —у оо) стремятся к одному н тому же пределу то /з (х) при х —» а (или при X —? оо) стремится к тому же пределу. Два замечательных предела. В курсе математического анализа имеют важное значение два предела, нахождение которых выполняется специальными приёмами. 1 Первый замечательный предел: lim = 1. г t 1-40 X sin х Функция 1— не определена при х = 0, так как числитель и знаменатель дроби при х = 0 обращаются в нуль. Для нахождения этого предела рассмотрим окружность единичного радиуса {R= 1). S*ocb - і \ОВ\ ¦ \АС\ = \ \ОВ\ \OC\smx=± sins, (|ОВ| = \ОС\ Я = 1), SbOBD = \ \ов\ ¦ \ВЩ = А \0В\. \0В\, = 1 tga!i то имеем неравенство sin аг < аз < tgz. Разделив все члены на sinх, получим і J х 1 . sin х 1 < -—- < или 1 > — > cos х. sin X СОЬХ X двумя величинами, имеющими один и тот предел, равный единице. Sin я; = 1. На основании теоремы 7 имеем: lim Следствие. Если х стремится и нулю, то и (aarj, где а — постоянная, стремится к нулю, поэтому ч. sin ах -, ІІЇТ1 = 1. і-—о ах Пример. Найти пределы: .ч .. am 7s: п. Bin Л а; ,, sdnlDQ* ,. an а 1; Ііш ; 2) Ііш -- ь- ; 3) lim ; 4) Ііш -т—-яг я^О 33 і—О 3111 Вт ЯГ а-*Овтв 5) lim 6} lim 5Й2; 7) lim ^^ ar—fflQ a: + 3cosar х a:—х Решение, Sill 7х -V аіїі7я; п , „ 1) Ііш —— = 7 піп —7-1 = 7. л—.0 X 7х Bx „і t, si л Ля п. AxsmAx 2) lira -г—ss- — Jim Ax Btn Bx Bx am Zte і—0 A si(іЛл Ді - г- Inn — lim — -n- B T^Q Л it sui Ux В Л ¦чіп 1 ПП-r 1 3) lim — — ііш - ¦ ain їООл; = 0 (произведение Йесконечнс t^co je z малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая). 4) ІІШ ^ = lini (йг)"О» ¦ (>-V) 4 = lim ? . I = 'а—оэта a-o V а / и й-Ю ас 0 — 2. 1+0 5) lim a = Ііш -—і— X 6) lim = lim ^^ ¦ —— =1*1 = 1. x—>0 X x—tО X СОЙ X a x 2 2" ,. I -coa I 2БІп 2 1 17) hm ——t = 11m тр^ — - lim . , и— fl д a: 2 ^ (x/2) При решении задач удобно пользоваться также следующими обобщениями второго замечательного предела: ( 1 \Лт) J. Шп ( 1 + j^y ) = e, где f(x) ос при x a; lim (1 4- - e, гдг 0 при x a; lim (l + -)mx = ekm; lim - lim (1 + ktsp - Если число e служит основанием логарифма, то логарифмы называются натуральными или неперовнмн логарифмами и обозначаются In. Так, если х — е* то логарифмируя по основанию е, имеем 1пя ¦== - ~ — у In є = у, т. е, у = 1п х. Пример» Найти пределы: ki її Ї 2 1) lim А + -Ї ї 2) Hm 3) lim (і - sin2я) 4) lim (1 + shi7Tz)ctEfri; 5) limfar + e")»; 6} lim (1 + i-il x—'О з: —»0 ^ ' f fe\ сделаем замену Решение, 1) Для нахождения lim (1-j-- J OQ \ xj t - kfxt при x —ь оо t —t и, тогда mi+l г и mJt = emk • 1 = emk. lim Vl + bx = = ]im(l + здесь сделана замена bx = t, при x —+ 0 t —> 0. В этом примере сделаем замену sin2 х - f, тогда при х —* 0 ( —+ —* 0, и Jim (I - sin2 х) ^ = Цш(1 -t)f ~ е^1, ї—О так как LIm( 1 + = cos 2tti 4) lim (1 + sin 2ТГХ)с1е *T3T = lim (1 - sin 2*z) ^fe | X — L X—>I [ Urn a—'1 Непрерывность функций