<<
>>

Тема 12. Предел функции. Эквивалентные функции.

Число называется пределом функции при (или в точке ), и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Число называется пределом функции при , и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Рассматривают также односторонние пределы функций: ,

, , , где стремится к , , или только с левой стороны или только с правой стороны.

Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем - или число или символ ):

1) Если - постоянная величина, то .

2) Если существуют конечные пределы , , то:

а) ; б) ;

в) ; г) , если .

При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точки из её области определения справедливо соотношение .

Функция называется бесконечно большой при , если . Функция называется бесконечно малой при , если .

Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :

1) Если, то,если, то

2) Если и , то .

3) Если и , то .

4) Если и , то .

5) Если и , то .

6) Если и , то .

Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.

Первым замечательным пределом называется предел: . Его следствиями являются пределы: , ,

Вторым замечательным пределом называются пределы:

,

где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции , где и .

При нахождении пределов следует иметь в виду:

1) Если , , то .

2) Если ,, то вычисляют, учитывая, что: , .

Бесконечно малые функции и при называются эквивалентными, и пишут ~, если .

Основные эквивалентности при
~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~
~ ~ ~

Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведения одну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если ~,~ при, то:

;

<< | >>
Источник: Бикчурина Л.Ж., Тимергалиев С.Н., Углов А.Н.. Математика. Часть 1: Учебно-методический комплекс для студентов заочной и дистанционной форм обучения по экономическим специальностям. / Составители: Бикчурина Л.Ж., Тимергалиев С.Н., Углов А.Н. Набережные Челны: Изд-во: ИНЭКА, 2006, 125 с.. 2006

Еще по теме Тема 12. Предел функции. Эквивалентные функции.:

  1. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  2.   2.1.7. Физика, математика и компьютерные науки  
  3. АНАЛИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ПОНЯТИЯ «АДАПТАЦИЯ»
  4. ПОЗНАНИЕ КАК ЦЕННОСТНАЯ ФУНКЦИЯ.
  5. § 11. АНТОНИМИЯ Определение антонимии
  6. ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ показателей при проектировании
  7. § 2. Определение стоимости похищенного
  8. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  9. Математические и логические "перлы" у Жана Тироля
  10. Приложение (теоретикам): "Теория предельной [бесполезности"
  11. 2.2. Предел. Непрерывность функции.
  12. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
  13. Тема 12. Предел функции. Эквивалентные функции.
  14. «Пиковая дама» и тема карт и карточной игры в русской литературе начала XIX века
  15. 2. Понятия и предложения из теории функций и функционального анализа
  16. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  17. 4. Проекционные методыОбширный класс методов приближенного решения уравнений вида Аи = / использует следующий ПОДХОД: решение ищется В виде UN = = где коэффициенты а, определяются из условия равенства
  18. Функции рыночного спроса
  19. Сущность рынка: родовые черты, функции, роль в экономической системе и взаимосвязь с категориями "обмен", "обращение", "торговля", "торговые услуги"