Тема 12. Предел функции. Эквивалентные функции.
Число 
называется пределом функции 
при 
(или в точке 
), и пишут 
, если для любого числа 
найдётся число 
такое, что при всех 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
.
Число называется пределом функции при 
, и пишут 
, если для любого числа найдётся число 
такое, что при всех , удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство .
Рассматривают также односторонние пределы функций: 
,
, 
, 
, где стремится к , 
, 
или только с левой стороны или только с правой стороны.
Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при 
(в дальнейшем 
- или число или символ 
):
1) Если 
- постоянная величина, то 
.
2) Если существуют конечные пределы 
, 
, то:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
, если 
.
При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции 
и точки из её области определения справедливо соотношение 
.
Функция 
называется бесконечно большой при , если 
. Функция называется бесконечно малой при , если 
.
Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :
1) Если
, то
,если
, то
2) Если и , то 
.
3) Если 
и 
, то 
.
4) Если и 
, то 
.
5) Если и 
, то 
.
6) Если 
и 
, то 
.
Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: 
, то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.
Первым замечательным пределом называется предел: 
. Его следствиями являются пределы: 
, 
, 
Вторым замечательным пределом называются пределы:
,
где 
-основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции 
, где 
и 
.
При нахождении пределов следует иметь в виду:
1) Если 
, 
, то 
.
2) Если 
,, то вычисляют, учитывая, что: 
, 
.
Бесконечно малые функции 
и 
при называются эквивалентными, и пишут 
~
, если 
.
Основные эквивалентности при  | |||
 ~ |  ~ |  ~ |  ~ |
 ~ |  ~ |  ~ |  ~ |
 ~ |  ~ |  ~ | |
Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного 
или произведения 
одну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если ~
,~
при, то:
;
