<<
>>

Метод Эйлера.

(Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )

Известно, что уравнение задает в некоторой области поле направлений.

Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке.

Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию.

y

M2

M1 M3

M0

y0 M4

0 x0 x1 x2 x3 x4 x

При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке

Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение

Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:

Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.

Можно записать общую формулу вычислений:

Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:

Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов.

Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.

Суть метода состоит в том, что в формуле вместо значения

берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда уточненное значение:

Затем находится значение производной в точке . Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и , находят второе уточненное значение у1.

Затем третье:

и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера.

Аналогичная операция производится для остальных значений у.

Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Метод Эйлера.:

  1. ГЛАВА 2. ИСТОРИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ ВЫБОРА ПРИНЦИПА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА
  2. Метод Эйлера.
  3. Метод Рунге – Кутта.
  4. Новые методы и новые миры
  5. 1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
  6. 4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ
  7. 4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ
  8. 10. Практическое занятие №10 "Численные методы решения дифференциальных уравнений"
  9. 3. Вариационные методы
  10. Метод Лагранжа-Эйлера
  11. 1.4.2. Определение. Вектор-функция , удовлетворяющая системе уравнений Эйлера-Пуассона, называется экстремалью функционала .
  12. 7.2. Метод Эйлера
  13. 7.3. Модифицированные методы Эйлера
  14. 7.4. Метод Рунге – Кутта
  15. 7.1. Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 1-го порядка).
  16. 7.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка).
  17. 7.3. Исправленный метод Эйлера.
  18. 7.4. Метод Рунге-Кутта 4 порядка.
  19. 3. Явные методы типа Рунге - Кутта.
  20. Интегрирование линейной однородной системы ДУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера.