Метод Рунге – Кутта.

Метод Рунге – Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера.

Суть уточнения состоит в том, что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора.

Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми, то получим формулу метода Эйлера. Метод Рунге – Кутта учитывает четыре первых члена разложения.

.

В методе Рунге – Кутта приращения Dyi предлагается вычислять по формуле:

где коэффициенты ki вычисляются по формулам:

Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.

Для i = 0 вычислим коэффициенты ki.

id="Рисунок 3340" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/2301.gif">

Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде таблицы.

Решим этот же пример методом Эйлера.

Применяем формулу

Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:

Применим теперь уточненный метод Эйлера.

Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке.

Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения имеет вид

Общее решение:

C учетом начального условия:

Частное решение:

Для сравнения полученных результатов составим таблицу.

Как видно из полученных результатов метод Рунге – Кутта дает наиболее точный ответ. Точность достигает 0,0001. Кроме того, следует обратить внимание на то, ошибка (расхождение между точным и приближенным значениями) увеличивается с каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем, что во – первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге, а во – вторых – тем, что в качестве основы вычисления принимается значение, полученное на предыдущем шаге, т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки.

Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного.