<<
>>

Метод Рунге – Кутта.

Метод Рунге – Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера.

Суть уточнения состоит в том, что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора.

(См. Формула Тейлора. )

Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми, то получим формулу метода Эйлера. Метод Рунге – Кутта учитывает четыре первых члена разложения.

.

В методе Рунге – Кутта приращения Dyi предлагается вычислять по формуле:

где коэффициенты ki вычисляются по формулам:

Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.

Для i = 0 вычислим коэффициенты ki.

id="Рисунок 3340" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/2301.gif">

Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде таблицы.

i xi k Dyi yi

0

0

1 0,1000

0,1104

1

2 0,1100
3 0,1105
4 0,1155

1

0,1

1 0,1210

0,1325

1,1104

2 0,1321
3 0,1326
4 0,1443

2

0,2

1 0,1443

0,1569

1,2429

2 0,1565
3 0,1571
4 0,1700

3

0.3

1 0,1700

0,1840

1,3998

2 0,1835
3 0,1842
4 0,1984

4

0,4

1 0,1984

0,2138

1,5838

2 0,2133
3 0,2140
4 0,2298
5 0,5 1,7976

Решим этот же пример методом Эйлера.

Применяем формулу

Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:

i 0 1 2 3 4 5
xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
yi 1 1,1 1,22 1,362 1,528 1,721

Применим теперь уточненный метод Эйлера.

i 0 1 2 3 4 5
xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
yi 1 1,1 1,243 1,400 1,585 1,799

Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке.

Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения имеет вид

Общее решение:

C учетом начального условия:

Частное решение:

Для сравнения полученных результатов составим таблицу.

i xi yi
Метод Эйлера Уточненный метод Эйлера Метод Рунге – Кутта Точное значение
0 0 1 1 1 1
1 0,1 1,1 1,1 1,1104 1,1103
2 0,2 1,22 1,243 1,2429 1,2428
3 0,3 1,362 1,4 1,3998 1,3997
4 0,4 1,528 1,585 1,5838 1,5837
5 0,5 1,721 1,799 1,7976 1,7975

Как видно из полученных результатов метод Рунге – Кутта дает наиболее точный ответ. Точность достигает 0,0001. Кроме того, следует обратить внимание на то, ошибка (расхождение между точным и приближенным значениями) увеличивается с каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем, что во – первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге, а во – вторых – тем, что в качестве основы вычисления принимается значение, полученное на предыдущем шаге, т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки.

Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Метод Рунге – Кутта.:

  1. 3.1. Имитационное моделирование развития комплекса предприятий
  2. 1.3.1 Математическое описание алгоритма модели движения НКА
  3. 2.4. Моделирование работы подвижного состава с использованием марковских случайных процессов
  4. Метод Рунге – Кутта.
  5. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  6. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  7. 7.4. Метод Рунге – Кутта
  8. ОГЛАВЛЕНИЕ
  9. 7.1. Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 1-го порядка).
  10. 7.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка).
  11. 7.4. Метод Рунге-Кутта 4 порядка.
  12. Тема 8 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
  13. 3. Явные методы типа Рунге - Кутта.