7.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка).
Для повышения точности формула Эйлера применяется дважды на каждом элементарном отрезке: сначала для вычисления значения функции в середине отрезка 
, затем это значение используется для вычисления тангенса угла наклона касательной к графику искомой функции в середине отрезка.
|  | ||||
 | |||||
|
|
|
Рис. 7.4. Геометрическая иллюстрация модифицированного метода Эйлера.
Расчётные формулы:
- значение функции в середине отрезка [x0,x1].
- значение функции в конце отрезка [x0,x1].
Формула модифицированного метода Эйлера:
(7.6)
где i = 0, 1, …., n-1 - номер узла;
xi = a + i?h - координата узла;
у0 = у(х0) - начальное условие.
Алгоритм решения ОДУ отличается от описанного ранее алгоритма метода Эйлера (рис 7.3) только алгоритмом расчета новой точки (Рис. 7.5).
Погрешность метода d » О(h3).
Пример 7.2. Решение ранее рассмотренного уравнения (пример 7.1) модифицированным методом Эйлера.
y’ - 2?y + x2 = 1, x Î [0;1], y(0) = 1.
Пусть n = 10 , h = (1 - 0)/10 = 0,1.
Начальная точка x0 = 0, y0 = 1.
Расчёт первой точки.
Аналогично расчёт следующих точек: 2, 3, ... ,10.
 |
Рис. 7.5. Алгоритм расчёта новой точки модифицированным методом Эйлера:
Еще по теме 7.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка).:
- 7.1. Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 1-го порядка).
- 7.4. Метод Рунге-Кутта 4 порядка.
- 7.4. Метод Рунге – Кутта
- Метод Рунге – Кутта.
- 7.3. Модифицированные методы Эйлера
- 3. Явные методы типа Рунге - Кутта.
- 7.3. Исправленный метод Эйлера.
- 7.2. Метод Эйлера
- Метод Лагранжа-Эйлера
- Метод Эйлера.
- Интегрирование линейной однородной системы ДУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
- 1.4. Метод теории государства и права. Принципы научного познания. Общенаучные методы. Частнонаучные методы
- Экспериментальный метод – как центральный метод среди эмпирических методов психологического исследования.
- 6. Уравнение 1 порядка.Метод Бернулли