<<
>>

7.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка).

Для повышения точности формула Эйлера применяется дважды на каждом элементарном отрезке: сначала для вычисления значения функции в середине отрезка , затем это значение используется для вычисления тангенса угла наклона касательной к графику искомой функции в середине отрезка.

А- начальная точка.

L1- касательная к y(x) в точке А.

L2- касательная к у(х) в середине элементарного отрезка

L3 параллельно L2 через т. А

y

_

y1

y1

y0

C

x1

Рис. 7.4. Геометрическая иллюстрация модифицированного метода Эйлера.

Расчётные формулы:

- значение функции в середине отрезка [x0,x1].

- значение функции в конце отрезка [x0,x1].

Формула модифицированного метода Эйлера:

(7.6)

где i = 0, 1, …., n-1 - номер узла;

xi = a + i?h - координата узла;

у0 = у(х0) - начальное условие.

Алгоритм решения ОДУ отличается от описанного ранее алгоритма метода Эйлера (рис 7.3) только алгоритмом расчета новой точки (Рис. 7.5).

Погрешность метода d » О(h3).

Пример 7.2. Решение ранее рассмотренного уравнения (пример 7.1) модифицированным методом Эйлера.

y’ - 2?y + x2 = 1, x Î [0;1], y(0) = 1.

Пусть n = 10 , h = (1 - 0)/10 = 0,1.

Начальная точка x0 = 0, y0 = 1.

Расчёт первой точки.

Аналогично расчёт следующих точек: 2, 3, ... ,10.

Рис. 7.5. Алгоритм расчёта новой точки модифицированным методом Эйлера:

<< | >>
Источник: Мухамадеев И.Г.. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. КУРС ЛЕКЦИЙ. 2007

Еще по теме 7.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка).:

  1. 3.1. Имитационное моделирование развития комплекса предприятий
  2. 1.3.1 Математическое описание алгоритма модели движения НКА
  3. 2.4. Моделирование работы подвижного состава с использованием марковских случайных процессов
  4. 1.3 Исследование динамической системы с использованием пакета Matlab
  5. 1.5 Исследование динамической системы с использованием пакета Mathcad
  6. Метод Рунге – Кутта.
  7. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  8. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  9. 7.3. Модифицированные методы Эйлера
  10. 7.4. Метод Рунге – Кутта
  11. ПРИЛОЖЕНИЕ
  12. ОГЛАВЛЕНИЕ
  13. 7.1. Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 1-го порядка).
  14. 7.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка).