<<
>>

7.3. Модифицированные методы Эйлера

Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции в точках с помощью формулы:

.

Затем находится значение правой части исходного уравнения в средней точке и затем полагается , .

Эти формулы являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.

Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом

со вторым порядком точности.

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения

.

Затем приближения искомого решения находятся по формуле:

.

Эти формулы являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера – Коши.

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.

Оценка погрешности. Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге. Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. , то оценка погрешности примет вид: .

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: .

Приближенным решением будут значения .

Пример 2. Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в предыдущем примере. Возьмем шаг . Тогда , и расчетная формула первого модифицированного метода Эйлера имеет вид: , где

, ,

, .

Решение представим в виде таблицы 7.

Таблица 7

0 0 1 0,1 0,1 1,1 0,1836
1 0,2 1,1836 0,0850 0,3 1,2682 0,1590
2 0,4 1,3426 0,0747 0,5 1,4173 1,1424
3 0,6 1,4850 0,0677 0,7 1,5527 0,1302
4 0,8 1,6152 0,0625 0,9 1,6777 0,121
5 1 1,7362

Третий столбец таблицы 3 содержит приближенное решение . Сравнивая полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице 2, видим, что погрешность составляет

.

Пример 3. Применим второй модифицированный метод Эйлера – Коши для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в примерах 1 и 2. Так же, как и ранее, зададим шаг . Тогда

.

В соответствии с данными формулами получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши:

,

где , , , , .

Решение представим в виде таблицы 8.

Таблица 8

0 0 1 0,1 0,2 1,2 0,867
1 0,2 1,1867 0,0850 0,4 1,3566 0,767
2 0,4 1,3484 0,0755 0,6 1,4993 0,699
3 0,6 1,4938 0,0690 0,8 1,6180 0,651
4 0,8 1,6272 0,0645 1 1,7569 0,618
5 1 1,7542

Таблица 8 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 8 содержит приближенное решение .

Сравним полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице 7. Видим, что погрешность составляет .

<< | >>
Источник: Котюргина, А.С.. Численные методы: учеб. пособие / А. С. Котюргина. – Омск: Изд-во ОмГТУ,2010. – 84 с.. 2010

Еще по теме 7.3. Модифицированные методы Эйлера:

  1. 2.6.3. Метод «коллективного блокнота»
  2. 3.3. Очистка стенок теплообменной поверхности от отложений в котлах малой производительности с помощью СО2
  3. АВТОРЕФЕРАТ
  4. Литература  
  5. УЧИЛИСЬ МЫ В СИБИРИ, НАД ТОМЬЮ, НАД РЕКОЙ...
  6. Метод Эйлера.
  7. Метод Рунге – Кутта.
  8. 1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
  9. 10. Практическое занятие №10 "Численные методы решения дифференциальных уравнений"
  10. 5. Метод Ньютона-Канторовича
  11. 7.2. Метод Эйлера
  12. 7.3. Модифицированные методы Эйлера
  13. 7.4. Метод Рунге – Кутта
  14. ПРИЛОЖЕНИЕ
  15. ОГЛАВЛЕНИЕ
  16. 7.1. Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 1-го порядка).