7.4. Метод Рунге – Кутта
Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения 
с начальным условием 
.
Как и в методе Эйлера, выберем шаг 
и построим сетку с системой узлов 
.
Обозначим через 
приближенное значение искомого решения в точке 
.
Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
, 
,
, 
,
, 
.
Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге. Так как метод Рунге – Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. 
, то оценка погрешности примет вид: 
.
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью 
.
, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение 
. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: 
. Приближенным решением будут значения .
Пример 4. Методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке 
следующей задачи Коши 
.
Возьмем шаг 
. Тогда 
.
Расчетные формулы имеют вид:
, 
, 
,
, 
, 
.
Задача имеет точное решение: 
, поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями 
.
Найденные приближенные значения решения и их погрешности 
представлены в таблице 9.
Таблица 9
| | | | | |
| 0 | 1 | 0,6 | 1,43333 |  | |
| 0,1 | 1,01005 | 10-9 | 0,7 | 1,63232 |  |
| 0,2 | 1,04081 |  | 0,8 | 1,89648 |  |
| 0,3 | 1,09417 |  | 0,9 | 2,2479 |  |
| 0,4 | 1,17351 |  | 1 | 2,71827 |  |
| 0,5 | 1,28403 |  |
7.5.