3. Явные методы типа Рунге - Кутта.
Рунге предложил следующую идею, основанную на вычислении приближенного решения y1 в узле x0+h в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами:
, ( 7)
где
,
,
…
.
Числа ai, bij и pqi выбираются так, чтобы разложение выражения (7) по степеням h совпадало с разложением (6) до максимально возможной степени при произвольной правой части f(x, y) и произвольном шаге h.
Это эквивалентно следующему. Если ввести вспомогательную функцию:
, ( 8)
то ее разложение по степеням h должно начинаться с максимально возможной степени:
, ( 9)
Если можно определить эти постоянные так, чтобы разложение jq(h) имело вид (9), то говорят, что формула (7) с выбранными коэффициентами имеет порядок точности s.
Величина
называется погрешностью метода на шаге или локальной погрешностью метода, а первое слагаемое в (9)
, (10)
называется главным членом локальной погрешности метода.
Доказано, что если q = 1, 2, 3, 4, то всегда можно выбрать коэффициенты ai, bij, pqi так, чтобы получить метод типа Рунге-Кутта порядка точности q. При q = 5 невозможно построить метод типа Рунге-Кутта (7) пятого порядка точности, необходимо брать в комбинации (7) более пяти членов.
3.1. Одночленная формула. Приближение в точке x1 = x0 + h ищется в виде:
,
где
.
Коэффициент p11 подбирается так, чтобы в разложении по степеням h функции (8), в данном случае равной:
,
максимальное количество членов обратилось в нуль. Этому требованию удовлетворяет единственное значение:
,
для которого разложение (9) имеет вид:
.
Таким образом
.
Это известная формула Эйлера. Метод Рунге-Кутта при q = 1 есть метод Эйлера.
3.2. Двухчленные формулы. Приближение в точке x1 = x0 + h ищется в виде
,
где ,
В выписанной формуле четыре неизвестных параметра: a2, b21, p11, p22. Чтобы их найти, необходимо построить вспомогательную функцию (8), равную:
,
и подобрать коэффициенты так, чтобы в разложении этой функции по степеням h максимальное количество членов обратилось в нуль. Чтобы обратить в нуль первые две производные:
,
,
необходимо, чтобы искомые коэффициенты удовлетворяли системе уравнений
(11)
Тогда разложение (9) имеет вид
.
Из (11) следует, что a2? 0, b21? 0, a2 = b21. Если принять a2 за свободный параметр, то
,
,
Таким образом получается однопараметрическое семейство формул типа Рунге-Кутта второго порядка точности.
1. Пусть a2 = 1. Тогда
(14)
Погрешность формулы (14)
.
Данный метод называется методом Хойна. (или методом Эйлера с коррекцией по средней производной).
(???)Если правая часть формулы (1) не зависит от y, то формула (14) переходит в квадратурную формулу трапеций.(???)
2. Пусть a2 = 1/2. Тогда
(16)
Погрешность формулы (16):
.
Метод называется методом Эйлера с коррекцией по средней точке
Если правая часть формулы (1) не зависит от y, то формула (16) переходит в квадратурную формулу средних прямоугольников.
3. Пусть a2 = 2/3. Тогда
(18)
Погрешность формулы (18)
.
3.3. Трехчленные формулы. Приближение в точке x1 = x0 + h ищется в виде:
где ,
,
.
Для отыскания восьми неизвестных параметров получается система из шести уравнений:
,
,
,
,
,
.
Тогда разложение (9) имеет вид:
.
Пример. Пусть a2 = 1/2, a3 = 1. Тогда:
. (21)
3.4. Четырехчленные формулы. Существует семейство формул типа Рунге-Кутта (7) четвертого порядка точности, для которых q=s=4.
Пример: (классический метод Рунге-Кутта):
(22)
Тогда разложение (9) имеет вид:
.
3.5. Формулы порядка выше четвертого. Чтобы построить метод типа Рунге-Кутта (7) порядка выше четвертого, для которого погрешность на шаге имеет порядок выше пятого для произвольного дифференциального уравнения (1) с достаточно гладкой правой частью f(x, y), необходимо, чтобы в формуле (7) число слагаемых ki(h) было больше пяти: q > 5.
Здесь существенно то, что значения правой части ki(h) дифференциального уравнения входят в формулу (7) в виде линейной комбинации. Может быть построен явный одношаговый метод пятого порядка точности y1 = y0 + Dy, использующий пять вычислений правой части, но не имеющий вида (7), т.к. значения ki(h) будут входить в Dy нелинейным образом.
Общим для всех рассмотренных методов численного интегрирования является то обстоятельство, что после выполнения очередного шага точка, изображающая полученное приближенное решение на плоскости (x,y), переходит с одной интегральной кривой на другую.