<<
>>

3. Явные методы типа Рунге - Кутта.

Рунге предложил следующую идею, основанную на вычислении приближенного решения y1 в узле x0+h в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами:

, ( 7)

где

,

,

.

Числа ai, bij и pqi выбираются так, чтобы разложение выражения (7) по степеням h совпадало с разложением (6) до максимально возможной степени при произвольной правой части f(x, y) и произвольном шаге h.

Это эквивалентно следующему. Если ввести вспомогательную функцию:

, ( 8)

то ее разложение по степеням h должно начинаться с максимально возможной степени:

, ( 9)

Если можно определить эти постоянные так, чтобы разложение jq(h) имело вид (9), то говорят, что формула (7) с выбранными коэффициентами имеет порядок точности s.

Величина

называется погрешностью метода на шаге или локальной погрешностью метода, а первое слагаемое в (9)

, (10)

называется главным членом локальной погрешности метода.

Доказано, что если q = 1, 2, 3, 4, то всегда можно выбрать коэффициенты ai, bij, pqi так, чтобы получить метод типа Рунге-Кутта порядка точности q. При q = 5 невозможно построить метод типа Рунге-Кутта (7) пятого порядка точности, необходимо брать в комбинации (7) более пяти членов.

3.1. Одночленная формула. Приближение в точке x1 = x0 + h ищется в виде:

,

где

.

Коэффициент p11 подбирается так, чтобы в разложении по степеням h функции (8), в данном случае равной:

,

максимальное количество членов обратилось в нуль. Этому требованию удовлетворяет единственное значение:

,

для которого разложение (9) имеет вид:

.

Таким образом

.

Это известная формула Эйлера. Метод Рунге-Кутта при q = 1 есть метод Эйлера.

3.2. Двухчленные формулы. Приближение в точке x1 = x0 + h ищется в виде

,

где ,

В выписанной формуле четыре неизвестных параметра: a2, b21, p11, p22. Чтобы их найти, необходимо построить вспомогательную функцию (8), равную:

,

и подобрать коэффициенты так, чтобы в разложении этой функции по степеням h максимальное количество членов обратилось в нуль. Чтобы обратить в нуль первые две производные:

,

,

необходимо, чтобы искомые коэффициенты удовлетворяли системе уравнений

(11)

Тогда разложение (9) имеет вид

.

Из (11) следует, что a2? 0, b21? 0, a2 = b21. Если принять a2 за свободный параметр, то

, ,

Таким образом получается однопараметрическое семейство формул типа Рунге-Кутта второго порядка точности.

1. Пусть a2 = 1. Тогда

(14)

Погрешность формулы (14)

.

Данный метод называется методом Хойна. (или методом Эйлера с коррекцией по средней производной).

(???)Если правая часть формулы (1) не зависит от y, то формула (14) переходит в квадратурную формулу трапеций.(???)

2. Пусть a2 = 1/2. Тогда

(16)

Погрешность формулы (16):

.

Метод называется методом Эйлера с коррекцией по средней точке

Если правая часть формулы (1) не зависит от y, то формула (16) переходит в квадратурную формулу средних прямоугольников.

3. Пусть a2 = 2/3. Тогда

(18)

Погрешность формулы (18)

.

3.3. Трехчленные формулы. Приближение в точке x1 = x0 + h ищется в виде:

где ,

,

.

Для отыскания восьми неизвестных параметров получается система из шести уравнений:

, , , , , .

Тогда разложение (9) имеет вид:

.

Пример. Пусть a2 = 1/2, a3 = 1. Тогда:

. (21)

3.4. Четырехчленные формулы. Существует семейство формул типа Рунге-Кутта (7) четвертого порядка точности, для которых q=s=4.

Пример: (классический метод Рунге-Кутта):

(22)

Тогда разложение (9) имеет вид:

.

3.5. Формулы порядка выше четвертого. Чтобы построить метод типа Рунге-Кутта (7) порядка выше четвертого, для которого погрешность на шаге имеет порядок выше пятого для произвольного дифференциального уравнения (1) с достаточно гладкой правой частью f(x, y), необходимо, чтобы в формуле (7) число слагаемых ki(h) было больше пяти: q > 5.

Здесь существенно то, что значения правой части ki(h) дифференциального уравнения входят в формулу (7) в виде линейной комбинации. Может быть построен явный одношаговый метод пятого порядка точности y1 = y0 + Dy, использующий пять вычислений правой части, но не имеющий вида (7), т.к. значения ki(h) будут входить в Dy нелинейным образом.

Общим для всех рассмотренных методов численного интегрирования является то обстоятельство, что после выполнения очередного шага точка, изображающая полученное приближенное решение на плоскости (x,y), переходит с одной интегральной кривой на другую.

<< | >>
Источник: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. 2017

Еще по теме 3. Явные методы типа Рунге - Кутта.:

  1. 3.1. Имитационное моделирование развития комплекса предприятий
  2. §3. Методы и формы организации обучения в курсе
  3. Метод Рунге – Кутта.
  4. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  5. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  6. 7.4. Метод Рунге – Кутта
  7. 7.1. Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 1-го порядка).
  8. 7.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка).
  9. 7.4. Метод Рунге-Кутта 4 порядка.
  10. 3. Явные методы типа Рунге - Кутта.
  11. 4. Сходимость явных одношаговых методов.
  12. 5. Практические способы оценки погрешности приближенного решения.
  13. 6. Интегрирование с переменным шагом. Автоматический выбор шага интегрирования.
  14. 1. Общее представление многошаговых методов.
  15. 4. Некоторые явные конечно-разностные формулы.
  16. 1.10.3. Распространение ошибок в начальных данных при решении обыкновенных дифференциальных уравнений.
  17. Структура и элементы процесса принятия оптимальных решений.
  18. Е. Курилович О МЕТОДАХ ВНУТРЕННЕЙ РЕКОНСТРУКЦИИ*
  19. Другие методы