3. Явные методы типа Рунге - Кутта.

Рунге предложил следующую идею, основанную на вычислении приближенного решения y₁ в узле x₀+h в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами:

, ( 7)

где

,

,

…

.

Числа a_i, b_ij и p_qi выбираются так, чтобы разложение выражения (7) по степеням h совпадало с разложением (6) до максимально возможной степени при произвольной правой части f(x, y) и произвольном шаге h.

Это эквивалентно следующему. Если ввести вспомогательную функцию:

, ( 8)

то ее разложение по степеням h должно начинаться с максимально возможной степени:

, ( 9)

Если можно определить эти постоянные так, чтобы разложение j_q(h) имело вид (9), то говорят, что формула (7) с выбранными коэффициентами имеет порядок точности s.

Величина

называется погрешностью метода на шаге или локальной погрешностью метода, а первое слагаемое в (9)

, (10)

называется главным членом локальной погрешности метода.

Доказано, что если q = 1, 2, 3, 4, то всегда можно выбрать коэффициенты a_i, b_ij, p_qi так, чтобы получить метод типа Рунге-Кутта порядка точности q. При q = 5 невозможно построить метод типа Рунге-Кутта (7) пятого порядка точности, необходимо брать в комбинации (7) более пяти членов.

3.1. Одночленная формула. Приближение в точке x₁ = x₀ + h ищется в виде:

,

где

.

Коэффициент p₁₁ подбирается так, чтобы в разложении по степеням h функции (8), в данном случае равной:

,

максимальное количество членов обратилось в нуль. Этому требованию удовлетворяет единственное значение:

,

для которого разложение (9) имеет вид:

.

Таким образом

.

Это известная формула Эйлера. Метод Рунге-Кутта при q = 1 есть метод Эйлера.

3.2. Двухчленные формулы. Приближение в точке x₁ = x₀ + h ищется в виде

,

где ,

В выписанной формуле четыре неизвестных параметра: a₂, b₂₁, p₁₁, p₂₂. Чтобы их найти, необходимо построить вспомогательную функцию (8), равную:

,

и подобрать коэффициенты так, чтобы в разложении этой функции по степеням h максимальное количество членов обратилось в нуль. Чтобы обратить в нуль первые две производные:

,

,

необходимо, чтобы искомые коэффициенты удовлетворяли системе уравнений

(11)

Тогда разложение (9) имеет вид

.

Из (11) следует, что a₂? 0, b₂₁? 0, a₂ = b₂₁. Если принять a₂ за свободный параметр, то

, ,

Таким образом получается однопараметрическое семейство формул типа Рунге-Кутта второго порядка точности.

1. Пусть a₂ = 1. Тогда

(14)

Погрешность формулы (14)

.

Данный метод называется методом Хойна. (или методом Эйлера с коррекцией по средней производной).

(???)Если правая часть формулы (1) не зависит от y, то формула (14) переходит в квадратурную формулу трапеций.(???)

2. Пусть a₂ = 1/2. Тогда

(16)

Погрешность формулы (16):

.

Метод называется методом Эйлера с коррекцией по средней точке

Если правая часть формулы (1) не зависит от y, то формула (16) переходит в квадратурную формулу средних прямоугольников.

3. Пусть a₂ = 2/3. Тогда

(18)

Погрешность формулы (18)

.

3.3. Трехчленные формулы. Приближение в точке x₁ = x₀ + h ищется в виде:

где ,

,

.

Для отыскания восьми неизвестных параметров получается система из шести уравнений:

, , , , , .

Тогда разложение (9) имеет вид:

.

Пример. Пусть a₂ = 1/2, a₃ = 1. Тогда:

. (21)

3.4. Четырехчленные формулы. Существует семейство формул типа Рунге-Кутта (7) четвертого порядка точности, для которых q=s=4.

Пример: (классический метод Рунге-Кутта):

(22)

Тогда разложение (9) имеет вид:

.

3.5. Формулы порядка выше четвертого. Чтобы построить метод типа Рунге-Кутта (7) порядка выше четвертого, для которого погрешность на шаге имеет порядок выше пятого для произвольного дифференциального уравнения (1) с достаточно гладкой правой частью f(x, y), необходимо, чтобы в формуле (7) число слагаемых k_i(h) было больше пяти: q > 5.

Здесь существенно то, что значения правой части k_i(h) дифференциального уравнения входят в формулу (7) в виде линейной комбинации. Может быть построен явный одношаговый метод пятого порядка точности y₁ = y₀ + Dy, использующий пять вычислений правой части, но не имеющий вида (7), т.к. значения k_i(h) будут входить в Dy нелинейным образом.

Общим для всех рассмотренных методов численного интегрирования является то обстоятельство, что после выполнения очередного шага точка, изображающая полученное приближенное решение на плоскости (x,y), переходит с одной интегральной кривой на другую.