4. Некоторые явные конечно-разностные формулы.

В явных формулах неизвестное значение y_n+1 не входит в правую часть, поэтому явные формулы записываются в виде:

.

4.1. Экстраполяционная (явная) формула Адамса.

Таблица 1.

Примеры конечно-разностных явных методов Адамса

Порядок Коэффициенты Степень Локальная

k A B₀ B₁ B₂ B₃ B₄ s погрешность

1 1 1 1 h²y⁽²⁾/2

2 ½ ‑1 3 2 5 h³y⁽³⁾/12

3 1/12 5 ‑16 23 3 3 h⁴y⁽⁴⁾/8

4 1/24 ‑9 37 ‑59 55 4 251 h⁵y⁽⁵⁾/720

5 1/720 251 -1274 2616 -2774 1901 5 95 h⁶y⁽⁶⁾/288

Если интерполяционный многочлен представить в форме интерполяционного многочлена Ньютона для равных промежутков

, (48)

Где — конечная разность i‑го порядка назад функции y'(x) = f(x, y(x)) в узле x_n, x = x_n+th, то формула численного интегрирования может быть получена в разностной форме:

. (50)

Отбрасывая в (50) остаточный член r_n+1, получаем разностное уравнение, эквивалентное (41), но представленное в разностной форме:

(53)