5. Часто используемые неявные конечно-разностные формулы.

В неявных формулах неизвестное значение y_n+1 входит в правую часть, поэтому неявные формулы записываются в виде:

.

5.1. Интерполяционная (неявная) формула Адамса.

Таблица 1.

Примеры конечно-разностных неявных методов Адамса

Порядок Коэффициенты Степень Локальная

k A B₀ B₁ B₂ B₃ B₄ s погрешность

1 1 0 1 1 ‑h²y⁽²⁾/2

1 ½ 1 1 2 ‑h³y⁽³⁾/12

2 1/12 5 8 ‑1 3 ‑h⁴y⁽⁴⁾/24

3 1/24 9 19 ‑5 1 4 ‑19 h⁵y⁽⁵⁾/720

4 1/720 251 646 ‑264 106 ‑19 5 ‑3 h⁶y⁽⁶⁾/160

Неявную формулу Адамса можно представить в разностной формуле:

(70)

Коэффициенты явной g_i и неявной g_i' разностных формул Адамса обладают следующими свойствами:

, (73)

. (74)

Т.к. g_i'< 0, а g_i> 0, то из (73) следует, что g_i монотонно убывают и

. (75)

Отсюда следует, что константа в главном члене локальной погрешности у интерполяционной формулы Адамса всегда меньше, чем у экстраполяционной формулы Адамса той же степени.