§ 22. Производная функции, заданной неявно

12, Для нахождения производной функции, заданной неявко, нужно продифференцировать обе части уравнения F(x,y)= 0 по ж, считая,

что у есть функция от х, и найти у' нэ уравнения F(x,y) = 0.

J 95

Пример, у2 — х 4- hiу = 0.

ж 2у ¦ (Ь у)' =» - у', поручим: 2у * ^ - 1 + = 0. Отсюда у' —

1+V

Примеры.

1) у* = Логарифмируя это уравнение, получим л: In у = у In і. Дифференцируя полученное уравнение по х, считая у функцией от х, имеем: fslioy)'« (plnx)'. x'lnjr + x(lajf)' = tfJn(s) + |Г(1И*)'І яли

1ц у -t- ~ — у' la Х+- -. Отсюда

и

if

_ (у fx) - In у __ у (у -ділу) (х/у) — Ins х(х — j/lna;)

х2 -Ь у2 — R2. Продифференцировав по х, получим 2х -Н 2yyf *=¦ 0,

отсеодз у' = —.

і/

ev = cos У-.

я;

sin ^ -

/ а: 7Р - 7* х 7х J f 7уЯ - 7і а; 7»

я

Т =

У 7V1 _

і/ _ _ 7V ^ 7s"3 Ї/

sinsy - cos -f ху1) cosxy — - sin - -—

V У V

X 2

sm—Ні/ cosxy

-/ - У . У у ~ т Га 2

х am — — у cos згу *

е5 - (ху)*, I = a;ln(^), ? - ^ - lnqr+в + ,

у у + + 1пду _ -f а;2)

у-х

х(у - х }

8) (яіп иг)* = (cosjr)1, x/]nsinx = xhcosy, j/'Insins 4- у ctg.c = = Incosi/ - xbgy ¦ y',

У

In cos у — у clg a; In sins + x tg у '

у2 + у = cos я* (2у 4- 1 }if ¦= — am 4- In аг)**,

j 1Ч- In a; — . x

^ = ~7ПйГ x sra*'

здесь учтено, что (Xі)' = 4-lnx).

Пусть задано уравнение F(x,y) = 0, где F — дифференцируемая функция x н у, которое определяет у как функцию X', тогда

Ти Ш^л прк

Пусть F(x,у) = у2 + у — cosxx, отсюда i7^ — sinXх ¦ лг^І + іплї), Fy ~ 3y + 1, поэтому

F',

% = —p =

1 -I- In j; z -

я sin a:

(см, предыдущий пример).

13. Производная от хл есть сьх^-1, т, е. если у = :crtt то у' = где & — любое действительное число, х > 0.

Логарифмируя у = ха, имеем: )пу = а1пят Дифференцируя обе

у' Ї ,

части подученного равенства по х, получим: — = а-, отсюда у —

у х

= а— ах**~', т. е. (яиУ s= .

х а:

Примеры.

I) у

In а + -

у* ^ Нг «*(>)' = In а -Ь аха~1й* =

2) у ^ In cos sfx ,

1 4

, -Sins/x , tg^ . і rz\> / lV 1

3) .

Перепишем функцию в виде: у = jtg

Ї -iJ

(1-2да)

у

5 е-"' -

cos* («є"*3) Зсов3 tytg(x4 )у*=

v5' Ґ

/ - = _ у'/In/-/У щ У

/>0, v>0. fy&l.

2

b„ = «»Ь (l + , * - feb (l + ?)+ Sj^-y