19. Производная обратной функции. Производные высших порядков.

Пусть y=f(x) дифференцируемая и монотонная на х. Если у рассматривать как аргумент,а x как ф-ию, то новая ф-ия x=#966;(y) явл обратной к данной y=f(x). Причем непрерывной на соответсвующем промежутке.

Теорема: Для диффер-мой ф-ии с производной #8800;0 производная обратной ф-ии = обратной величине производной данной функции.т.е.

Производная высших порядков.

Пусть ф-ия y=f(x) диффер-ма. Тогда у=f(x)-тоже ф-ия y Тогда производная ф-ии (#966;(х)) назыв 2й производной исходной функции у=f(x)

Обознач: y'', f ''(x), y''=(y')'.

n производной ф-ии у=f(x) назыв

Примеры:Рассм ф-ию: а) ; ;

б) ;

в) ;y(ax)

г) y=sinx; (sinx)(n) =sin(x+#960;k/2); (cosx)(n)= cos(x+#960;k/2)

23.Ф-ия y=f(x)наз-ся выпуклой вниз(вверх) на промежутке x,если quot;x1,x2#8712;X f((x1+x2)/2)#8804;(f(x1)+f(x2))/2, а для выпукл. вверх : f((x1+x2)/2)#8805;f((x1)+f(x2))/2

Теорема 1.Ф-ия является выпуклой вниз(вверх) на промежутке X тогда и только тогда,когда f ’(x) монотонно возр(убыв).

Геометрически это означ-т,что углы наклона касательной возр.

Теорема 2.Если f ’’(x)gt;0(lt;0) на X,то ф-ия на X выпукла вниз(вверх).Действительно,если f ’’(x)gt;0,то (f ’(x))’gt;0,т.е. f ‘(x) возр. Это по теор.1 означает выпуклость вниз.

Точкой перегиба графика ф-ии наз-ся точка,разделяющая интервалы,где ф-ия выпукла вниз или вверх. Т.о. точки перегиба-это точки экстремума первой производной.

Теорема(необходимое условие точки перегиба)

Если в т.X0 перегиб графика ф-ии y=f(x), то f ‘’(x0)=o или не .

Теорема(достаточное условие точки перегиба):Пусть f(x) дважды дифференц. ф-ия,если f ’’(x)при переходе через т.X0 меняет знак,то в этой точке перегиб графика ф-ии.

Схема исследования на напр.выпукл и перегиба:

1)найти f ’’(x)

2)найти точки,где f ‘’=0 или не сущест.

3)исслед-ть знак f ‘’слева и справа от каждой найденной точки

4)найти значения самой ф-ии в точке перегиба