17. Производная сложной и обратной функции.

y=f(u) u=#945;(x)

Теор. Если ф-ия дифф-емы на своей области определения, то производная сложной ф-ии y=f(#966;(x)) существует и = произведению производной функции на производную промежуточной по окончательную переменную, т.е.

Пусть y=f(x) дифференцируемая и монотонная на х. Если у рассматривать как аргумент,а x как ф-ию, то новая ф-ия x=#966;(y) явл обратной к данной y=f(x). Причем непрерывной на соответсвующем промежутке.

Теорема: Для диффер-мой ф-ии с производной #8800;0 производная обратной ф-ии = обратной величине производной данной функции.т.е.

Док-во пусть y=f(x)- диффер-ема и производная #8800;0

Пусть #8710;у#8800;0-приращение независимой переменой у обратной функции, а #8710;х#8800;0 – соответствующее приращение самой обратной функции.

Тогда (при #8710;у0, #8710;х0 в силу непрерывности ф-ии y=f(x))

Геометрический смысл теоремы:=ctg#945;=tg(. Т.о.