§ 23. Про и ав одная обратной функции

Пример, Пусть прямые функции есть у — ах + bt у = х71, тогда

У — Ь

обратными функциями будут х = и х = 'tfy .

Если для функции у ^ f(z) существует обратная л: = ip[y)t которая в рассматриваемой точке у имеет производную xryi отличную от нуля, то в соответствующей точке х функция у — f(x) имеет произ-водную равную Ifx'y

Действительно, дифференцируя обе части равенства х — *р(у) по х, считая у функцией от х, имеем; I — Производная от функции у = arcsins равна

т. е. ес-

t

ли у — arcsin х, то у

. Продифференцировав х = sin у по х, 11 1

v'l - віїТу У1 - ®5

получим 1 — оозу * Ух* отсюда у'х —

cosy

Перед корнем берётеп знак плюс, так как функция у — arcsma; рассматривается на отрезке -90° ^ у < 90°, a cos^/ ^ 0 при зтих значениях у.

16. Производная от функции у = arccoss равна —-=—.

\/ 1 — з?-

Аналогично предыдущему х = cosy, 1 — — sin у у'х = —-г

sir. у

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников lbitt

Ди ффер еицц ал ьно е ис н. пса єни е функции одной переменной [ Гді IV : ^ ^ ; перед корнем берётся знак плюс, так как

cos3 у

\/ і — X*

функция у = aiccosa; рассматривается в пределах от 0 до тг, a sin у > О при этих значеннях у.

Если у

1 + «г

17, Производная от функции у = Arctga: равна

cos3 у

= то Ї = tgy, Дифференцируя по а, имеем: 1 = -73— - у'х;

і

т~: -

У* — cos2 у -

-г.

1 +

1 + tg у 1 + і 18. Производная от функции у — arcctgx раина

1

но предыдущему находим: х — ctgy, 1 = - ¦ ¦., ¦ у'я\ уJT = — sin у —

sm у

1 _ 1 I-jctg^y™ 1 Примеры. Найти производные следующих функций;

у = {] + sin3 2л:)4.

у' — 4(1 + sin3 2а;)3 (1 +¦ sin3 2х)! - 4(1+ Йи*2®)а3я1па2я .«яЙл ¦ 2 -

= 24 cos 2х ¦ sin2 2х{1 -f sin3 2а;)3.

у « tz2(e~*).

1

~ТГ~

cosV1)

сое

у'= 2 tg(e~*)

3) ff = яЛ Логарифмируя, получим: Ь у = х In х, Дифференцируя

полученное равенство по і, будем иметь: -у' = In аг + х - - — lris-H

у %

тогда yf = хґ (Inх + 1).

Приём, применённый при нахождении этой производной, состоящий в том, что сначала уравнение логарифмируют, а затем дифференцируют, широко применяется при нахождении производных функций. Применение этого приёма нередко значительно упрощает нахождение производных,

In у = 21п{1 + + ІЦ1 -х) - 41л(дг 4- 4) 4- зіпх,

ї'

+ cos і,

8а:

1 + г 3(1-т) х? + 4 2 2

4- соя X 1

(і + *)7 - т)*

У (яа + 4 5) х ¦ ev 4-ye* — ху.

(аге^ 4- ус*)' = (ху)\ с® + хе^у' -Ь у'е* + ует — у + ху\ у1 ¦ {xev + + ё* -х) ~ — еу — усх + yt отсюда

у еа + х(еу - 1)н 6} у — х nrctg'* Ьх ч- In tg х. ¦

у' ~ arctg'1 Ex -I- Зі arctg J 5a; + 1

1+25ж eg ^ cosx

з- ІБя arclg^ . Г

- arctgJ 5x + ^5-j- +

ооззс-sina;

I / w ( 1 \ і зіпу ,

Ті у = arcsecic, я: = secy — , (a;) — — , 1 = - ¦ у ,

ccay cosJy

/ _ cgg!jf _ _L

У ~ v.T_~ — a

siny x^/x*2 - 1

8} і/ = a:3 - aiii 2a;, і/ ^r sin 2x + a?3(2xe**) sin 2л; 4- Л?" 2 ¦ cos2a: =

- a^e1® sin2a;[3 + 2a;2 + 2i ctg 2x],

In КІПЇ

9) V = bg^^-ятаг, у =

In COST

t _ С tig I In Igsto sh\x

^^(ЇЇГсоЙЗГр

10) ui(x2 + y*} - 2 arctg

2x + Ъуу _ у 1 zy - у

, _ і + у

f ' * . . -7-І

ж + Щ/ = ~ 3/. ї' =

§24. Производная функции, заданной параметрически

Пусть х к у заданы как функции некоторого параметра f: х = a:(f).

а; = яго + Йі У — Уо + mi — параметрические уравнения прямой (см. §10);

х — хо + Rcost, у ¦= уо + Даіп/. — есть параметрические уравнении окружности, так как возводя в квадрат (я; — го) и (ї/ ^ г/о)

и сложив1 получим уравнение (а: - ?о)2 + (У ~Уо)2 = — окружность с центром в точке М$(хо}?уо) (см. § 6);

3) точно так же уравнения х — a cost, у ~ bsin t есть параметрические уравнен ни эллипса, так как возведя я квадрат х/ач у/Ь и сложив, получим (см. §6)

Придадим приращение At параметру t, которое вызовет соответствующие приращения Ах и Ау. Тогда выражение для производной от у по х равно:

Ау

у^ lim lint ^ = 4 «ЛИ ? = Ш

At

Примеры, Найти производные J/i (? > 0), если: I} х = сЛі cos2 t, у — e21 sin3 2) x = a(t — sin?), у — a(l — cos/). Решение,

1) 2c2t cos2 t + eM<-2 соэ t вігі t) = 2e2t(cos t - яіп i) cos t,

' -

Vt

2e2t sin21 + c2 sin t cos t = (silt t + cos t) sin t,

cos t — siti t 1 — tgt

їй - & ~ ts~ tsti±H| ^ ¦ t€ (t +1).

xt

2) x't = a(l - cost), y[ = asini, у*х = ^^ = ctg» (іф 2Ы).

Приведём теперь таблицу основных формул дифференцирования (если и то иг — х' — 1).

у = С, ?/ = 0.

у = 11 + V + W, у' » и1 + Vі ч- IVі.

у — Си, у' = Сиг, 4-у ~ щг\ у* = u'v -Ь wf. 5. у = и7\ if — ntin~1u'.

и _f г/и MV

6

If I)

ft = ft' - й" In а "

ft = еЧ у' = euu'\

j/ — і пи, у' = —.

и

JO. у ^log^, j/ = ~logne.

у = sinu, у' — i/cosu.

у = созг/, з/ = —у'sin щ.

и

cos2 X

г

11

slrPlr

IS, у — tgwT у' - 14, у — ctgTi, у' -

и

Vi-tt*'

и

'/l - и1 "

и

2 '

у = arcsmu, if —

у = aiccosu, т/ —

1 + и

у — arctgu, у* ~

и

і/ — arcctgii, у' = ^

у = /(к), ті = ti(s)t }? = ГМ - <

га ir* іг(4, й — 4

xt

Задание. Проверить правильность нахождения производных следу- еоших функций:

1) у = хте~* smrtx2.

bу = minx - х2 -Н піпзіп^, - у' — — - 2% + 2пх ctgx3,

у x

1 , 771

уу ~ 7

у' = у - 2х + 2пх ctg i2^ .

2) х3 -I- j/3 - 3ъху = 0.

Зх2 4 3у V - 3fiy - Zaxy' =0, у' = .

ах — у

3) {ъту)*~хъ*.

xlrishj/ — In In sin у + xy'ctgy = 2—-,

X

4) у ~ ^/cos^(ln2 sin лН),

у' = jj |сов(1павІп^}(§[-яш(ЬавІпг4))[2Іп < ' C03t'1' 4х3 =

— _ ^ хъ ctg х4 • In sin хА ' sin{ln3 sill xA) ¦ (cos In2 sin хл) і .

5) x — e' cost, x't = e*(cos? — sin?).

у = 6і sin і, y[ = 4-cost).

1 , х\/2 arctg

I ¦ Я'2 + + 1

6) у = —^ In

s'- J

і)"

4\/2 Xі - xV2 4- I 2ч/2 1/ 2аз н- 2х-\/Э

У -

4\/2 н- кл/2 + ] x2-z\/2 + j

1 У2(х* - і) -2x*y/2

¦г

t + 2x

(xa - 1J

1 - xa 1 1 ti3

4 '

' 1 -M4 2 l _ 1 + x

7) у = xn arcbg^v/a; sin ж).

t ті—I . m/ f— s \ , (у/ї ЄІПЖ)

V — nx ¦ arctg"1 {y/x sin x) -I- mr- —— '

1 + Я sill X

x +¦ cosac^J =¦ і л;11 a arctgm ginar) x

~ Г 2n t-^f г - л , віпя + 2*совх x --pr arctg (т/1 ВШ х) + m

~2

1 + xsm %

8) y = a4tg=(t*),

= 4x3 ttfV) + tg^^lti^l e

cos x

±+1

cos2 аг"

2tgxx + 4. hit)

9) (cos}« =

у In cosx = cosx 3n у, y' 3n zosx — у —-— sin t = дід дг ] п у 4- cos г--,

У

cosx

t sin x In у — у tg X

У — У і ¦

e cos a: ¦— j/ In COEI

Другой способ, F{x,y) — (oo?x)v - ycos® F^ (ar, y) = — j/sdnx(cosx)v"*1 4 sin In у = y™*Csinarliijf - у tgx), так как по условию (coax)1' = у*™*,

Fy (я:, у) = (cos x)y ¦ In cos x - cos xycoe 1 = yCQ*1 (In cos x - - cos a:),

^Діирфгре.щнал функции

t _ _ sin а: 1л у - yigg _ яіті alng - ytgx ^

ЩЫ' \UC0SX--GGSX У \nCQ2X-CQSX~

V

sin a: hi у —у Igx ,Г/ cos х - у hi cos х

Sat*

10) x =

3at

1 +t3'V~ 1 + ta'

1 - 2 Г

x'f -

Vl

Xt 1 -

Vt " ^(TTFT

Найти Яу, если ^ = а-2

Ч-

, г. , 1 I + їх1

2а:

ї? = 2а? + - = ——}

j: х

Найти Яу, если у

a; + sin ж сой ж

соє я

J/i = 2r tg2х h = 2а;t$x

cos і

ж' - —

cos2 X

'2х tg + ят х cos а:)

В заключение этого параграфа отметим, -ито:

производная дифференцируемой чётной (нечётной) функции есть нечётная (чётная) функция;

производная дифференцируемой периодической функции есть функции периодическая с тем же периодом.