§ 25- Дифференциал функции

і™, ??=/'(*).

ІІЯ7—Ах

Отсюда на основании теорємьт 1 можно записать:

Л у — f'{x) ¦ Ах + а • Ах, ,

или

где а — бесконечно малая при Ах —* 0.

Итак, если функция f{x) имеет производную f'(x) в точке х, то произведение производной f (х) на приращение Ах аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом dy или df(x):dy =df(x)^ f(x)Ах.

Дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением Да;. Действительно, рассматривал функцию у = ас, имеем dy — = dx xfAx = Ах, т.е. Укажем на некоторые свойства дифференциала функции.

L d(C ¦ /(лг)) — С ¦ df(x) — постоянный множитель можно выносить .за знак дифференциала,

d(u Ї v і -w) — du ± dv ± dw — дифференциал алгебраической суммы равен алгебраической сумме дифференциалов.

d(uv) — (iiv)' dx — {u'v -ь їй/) dx — vu'dx + uv' dx = v du + и dv.

4 d (—^ — (US dx — u v ~ uv' dx —

5. Рассмотрим сложную функцию у = дц), где и есть функция от х. Тогда dy = у'х dx = у^ - u'xdx = y!4du„ т.е. дифференциал сложной функции имеет тот же пид, какой он имел бы в том случае, если бы вспомогательная функция и (промежуточный аргумент) была независимой переменной. Это важное свойство дифференциала, называемое инвариантностью формы дифференциала будет использовано в дальнейшем.

6 Для выяснения геометрического смысла дифференциала обратимся к рисунку (см. § 19), Из ААВМ: АВ — AM tg а — Axf'(x) = ~ f'{x) " ^^ dy.

7. Найти дифференциалы следующих функций:

у = 4- X sin2 х, dy = (e~s - хе~х + 2зсаіп3 я + х2 sin2j;) dx\

у — xxf In у = х In х, - dy — (Іпд: 4 1) dxt dy — a*(Ina? -і-1) dx\

у dx — x dy

2

то dy + у dx) ы

sina;i/ = dsinxy = d^J, таК KaK da\nxy = соsxyd(xy) = яs cos xy(x dy 4- ydx), - - -x- \ , тогда (xcosxy + -^jdy = — ycosxyjdx, dy =

= g 1-p oossy^ 0тсюда

і 1 Hb yJ функции

CLQS xy

можно получить производную неявной

У dx" X

1—аг созя у

Задание. Найти;

1) ДЛа^-Зг4 4 а:6); 2) dx

Решение.

d /t,gar\. оч «Цйгсіеіе) i(v^) \ X / d^x

2x dx 204

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников

§.?б ] flpLLuewn^efiu фференц и ала в приближенных вычислениях 205

d(v^) V X ) I VtiOBT

2 yfx

3)

dfarctg x*) _ It, _ 2x

x) (1 + a;*)2sin xcosp (і + X ) sin Задание. Найти dy, если:

1) у — u2v2w2; 2) у = 3) у = aitrtg(tflno), где ц, v, w — дифференцируемые функции от х. Решение

у = n2v2tii2,dy = (u2v2m2yxdx = (2 uu'iPw2 + 2u2vv'w2 + + ЗіАЛиіЛ dx — 2uv2vj2 dv + 2tAnwa dv + 2u2viw cZtaj - 2yf — + — 4-

і . Ь v

H—— J, так как по определению дифференциала и'dx — du, v* dx = dv, w' dx = div.

у - dy = + tit?') dx - у^J 4 ttd-u).

У — iiTCLgfuUlLr), dy — -¦ ¦ 1 ^{mdlA + 4 uu dw).

I 4- (ww)