Дифференциал

Дифференцируемость функции в точке означает, что ее приращение представлено в виде:

.

Величина при малых мала по сравнению с величиной . Поэтому представляет собой главную часть приращения , называемую дифференциалом функции в точке . Дифференциал функции обозначают обычно символами:

и др.

Если ‑ независимая переменная, то и поэтому .

Вычисление дифференциалов проводят по правилам 1°‑6° дифференцирования с заменой символа ¢ (штрих) на символ . Например:

;

.

Пример 7. Вычислить дифференциал функции в точках и .

;

.

Таким образом, приращение функции в точке при малых значениях приблизительно в пять раз больше, чем , а приращение функции в точке приблизительно в 14 раз больше, чем .

Тот факт, что дифференциал функции является главной частью приращения функции, используют при различны приближенных вычислениях. При этом заменяют приращения функции ее приближенным значением . Таким образом,

(2)

Пример 8. Вычислить .

Рассмотрим функцию . Заметим, что . Возьмем . Тогда по формуле (2):

.