Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у – сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой– то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х – независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ? dx.

Таким образом, форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Пример. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции