<<
>>

Формула Тейлора.

Тейлор (1685–1731) – английский математик

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е.

и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

2) Пусть х– любое значение из этой окрестности, но х ? а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

(1)

Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

(2)

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

(3)

Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:

…………………….

Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е.

отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)

Теорема доказана.

Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x). Как видно на рисунке, в

точке х = а значение многочлена Rn+1(x) в точности совпадает со значением функции. Однако, при удалении от точки х = а расхождение значений увеличивается.

y

f(x)

Pn(x)

0 a x x

Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка eÎ(a, x), то найдется такое число q из интервала 0 < q < 1, что e = a + q(x – a).

Тогда можно записать:

Тогда, если принять a = x0, x – a = Dx, x = x0 + Dx, формулу Тейлора можно записать в виде:

где 0 < q < 1

Если принять n =0, получим: f(x0 + Dx) – f(x0) = f¢(x0 + qDx)?Dx – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) французский математик и механик).

Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.

При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Формула Тейлора.:

  1. 2.1. Ф. Тейлор - основоположник школы научного управления
  2. § 30. Формула Тейлора
  3. § 31. Представление функций sin ж, cos ж, In {1 + ж), (1. -+¦ ж)01 с помощью формулы Тейлора
  4. § 32. Приложение формулы Тейлора
  5. Вопросы для самопроверки
  6. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  7. Формула Тейлора.
  8. Содержание дисциплины
  9. Формула Тейлора.
  10. Формула Маклорена.