Формула Тейлора.

Нередко вычисление значений функции y = f(x) при конкретных значениях х оказывается затруднительным. Один из эффективных приемов в этом случае – замена функции степенным многочленом (полиномом) вида: Pn(x – a) = C0 + C1(x – a) + C2(x – a)2 + … + Cn(x – a)n (1) значение которого при х = а равно значению функции f(а).

f(а)= C0; f `(a) = C1; f ``(a) = 2C2 = C2 ?2! …… ; f(n)(a) = Cn ? n!

где n! = n(n –2)(n –3) … (n – k) … 3 ? 2 ? 1 (символ n! называется n – факториал). Отсюда легко находятся все (3.29).

Подставив в (1) получим: (3.30)

Очевидно, что совпадая при х = а, в других точках значения f(х) и Рn(x) отличаются. Обозначив это отличие через Rn(x) = f(x) – Pn(x) получим:

(3.31)

Величину Rn(x) называют остаточным членом. Для значений х, при которых остаточный член мал, многочлен Рn(x) дает приближенное значение f(x). Оценить величину Rn(x) при различных х позволяет выражение

, где a < x < x (3.32).

(Форма Лагранжа для остаточного члена). Величину x можно представить в виде: x = а + q(х – а), где 0 < q < 1 и тогда (3.32) примет вид

(3.32`)

(Очевидно, что, если х расположено в достаточно малой окрестности а. величина Rn при достаточно большом n может быть достаточно мала, чтобы обеспечить требуемую точность).

Выражение (3.31), называется формулой Тейлора. Частный случай ее при а = 0 (3.31`)

где , 0 < q < 1 называется формулой Маклорена. Используя правила дифференцирования, несложно получить разложения многих функций по формуле Маклорена. Приведем некоторые из них:

(3.33)

(3.34)

(3.35)

Формула Тейлора может быть применена и для раскрытия неопределенностей вида и . Функции в числителе и знаменателе дроби «раскладываются» по формуле Тейлора и, после некоторых преобразований, предел вычисляется.

Контрольные вопросы.

1) Какую роль играют в аппарате дифференциального исчисления теоремы Роля, Лагранта, Коши?

2) Можно ли применять правило Лопиталя при неопределённости вида 0;?

3) Можно ли с помощью формулы Тейлора приближённо представить (аппроксимировать) произвольную функцию f(x) в виде многочлена?

4) Как выглядит формула Маклорена?

5) Можно ли с помощью формулы Тейлора для раскрытия неопределённостей вида и ?