3.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
Приведем (без доказательств) несколько теорем, утверждения которых играют большую роль в аппарате дифференциального исчисления.
1. Теорема Ролля о корнях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (а, b) и f(a) = f(b), то в интервале (а, b) найдется хотя бы одно значение х = x, при котором f `(x) = 0.
Если f(a) = f(b) = 0 (частный случай), то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной. Геометрическое истолкование: если непрерывная на отрезке [a, b] кривая имеет в каждой точке касательную, не параллельную оси Оу, и равные ординаты в точках а и b, то найдется по крайней мере одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная к кривой параллельна оси Ох (tga = f `(x) = 0).2. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х =x, при котором выполяется равенство f(b) – f(a) = (b – a) f `(x).
Геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой у = f(x) имеющей в каждой точке касательную не параллельную оси Оу найдется хотя бы одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная параллельна хорде АВ.
3. Теорема Коши (об отношении приращений двух функций): Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b), причем j`(x) ? 0, то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х = x ( a < x < b) такое, что 
. Теорема Коши позволяет доказать два важных для решения задач теории пределов утверждения, известных под названием правила Лопиталя.
Теорема 1. Пусть функции f(x) и j(x) на некотором отрезке [a, b] удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль точке а т.е.
f(a) = j(a) = 0; тогда, если существует 
, то существует и 
,
причем 
.
и 
; б) если f `(a) = j`(a) = 0, а функции f `(x) и j`(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши, то, применяя правило Лопиталя дважды, получим 
; в) процедура (при выполнении соответствующих условий) может быть повторяема до получения результата. Правило справедливо и в случае 
и 
.
Теорема 2. Пусть функции f(x) и j(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши при всех х ? а в окресности точки а, 
и 
, и пусть существует предел 
. Тогда существует и предел , причем
(3.28).
Это правило позволяет раскрывать неопределенности вида 
. Оно справедливо и в случаях: а) А = ¥; б) х ® ¥.
Во многих случаях это правило позволяет раскрыть неопределенности и других видов, применив предварительно те или иные преобразования. Так, неопределенности вида 0 ? ¥ или ¥ – ¥ приводят к виду 
или путем алгебраических преобразований данной функции; в случае неопределенности вида 00, ¥0, или 1¥ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Примеры:
1. Неопределенность вида (∞-∞) :
(неопределенность вида 
, применяем правило Лопиталя). = 
(;правило Лопиталя) = 
2. Неопределенность вида 00:
. Обозначим 
. Прологарифмируем обе части равенства 
(неопределенность вида ∞·0) = 
( ; правило Лопиталя) = class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1268/image/94.gif">(; правило Лопиталя) = 
; 
; 
℮0=1 т.е. 
;