3.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.

Приведем (без доказательств) несколько теорем, утверждения которых играют большую роль в аппарате дифференциального исчисления.

1. Теорема Ролля о корнях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (а, b) и f(a) = f(b), то в интервале (а, b) найдется хотя бы одно значение х = x, при котором f `(x) = 0.

2. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х =x, при котором выполяется равенство f(b) – f(a) = (b – a) f `(x).

Геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой у = f(x) имеющей в каждой точке касательную не параллельную оси Оу найдется хотя бы одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная параллельна хорде АВ.

3. Теорема Коши (об отношении приращений двух функций): Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b), причем j`(x) ? 0, то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х = x ( a < x < b) такое, что . Теорема Коши позволяет доказать два важных для решения задач теории пределов утверждения, известных под названием правила Лопиталя.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и j(x) на некотором отрезке [a, b] удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль точке а т.е.

f(a) = j(a) = 0; тогда, если существует , то существует и ,

причем .

Правило справедливо и в случае и .

Теорема 2. Пусть функции f(x) и j(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши при всех х ? а в окресности точки а, и , и пусть существует предел . Тогда существует и предел , причем

(3.28).

Это правило позволяет раскрывать неопределенности вида . Оно справедливо и в случаях: а) А = ¥; б) х ® ¥.

Во многих случаях это правило позволяет раскрыть неопределенности и других видов, применив предварительно те или иные преобразования. Так, неопределенности вида 0 ? ¥ или ¥ – ¥ приводят к виду или путем алгебраических преобразований данной функции; в случае неопределенности вида 00, ¥0, или 1¥ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры:

1. Неопределенность вида (∞-∞) : (неопределенность вида , применяем правило Лопиталя). = (;правило Лопиталя) =

2. Неопределенность вида 00:. Обозначим . Прологарифмируем обе части равенства (неопределенность вида ∞·0) = ( ; правило Лопиталя) = class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1268/image/94.gif">(; правило Лопиталя) = ; ; ℮0=1 т.е. ;