<<
>>

3.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.

Приведем (без доказательств) несколько теорем, утверждения которых играют большую роль в аппарате дифференциального исчисления.

1. Теорема Ролля о корнях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (а, b) и f(a) = f(b), то в интервале (а, b) найдется хотя бы одно значение х = x, при котором f `(x) = 0.

Если f(a) = f(b) = 0 (частный случай), то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной. Геометрическое истолкование: если непрерывная на отрезке [a, b] кривая имеет в каждой точке касательную, не параллельную оси Оу, и равные ординаты в точках а и b, то найдется по крайней мере одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная к кривой параллельна оси Ох (tga = f `(x) = 0).

2. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х =x, при котором выполяется равенство f(b) – f(a) = (b – a) f `(x).

Геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой у = f(x) имеющей в каждой точке касательную не параллельную оси Оу найдется хотя бы одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная параллельна хорде АВ.

3. Теорема Коши (об отношении приращений двух функций): Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b), причем j`(x) ? 0, то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х = x ( a < x < b) такое, что . Теорема Коши позволяет доказать два важных для решения задач теории пределов утверждения, известных под названием правила Лопиталя.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и j(x) на некотором отрезке [a, b] удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль точке а т.е.

f(a) = j(a) = 0; тогда, если существует , то существует и ,

причем .

Это правило позволяет во многих случаях раскрыть неопределенности вида 0/0 (такие, например, как первый замечательный предел), причем: а) теорема справедлива и в случае, когда f(x) и j(x) неопределены при х = а, но и ; б) если f `(a) = j`(a) = 0, а функции f `(x) и j`(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши, то, применяя правило Лопиталя дважды, получим ; в) процедура (при выполнении соответствующих условий) может быть повторяема до получения результата.

Правило справедливо и в случае и .

Теорема 2. Пусть функции f(x) и j(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши при всех х ? а в окресности точки а, и , и пусть существует предел . Тогда существует и предел , причем

(3.28).

Это правило позволяет раскрывать неопределенности вида . Оно справедливо и в случаях: а) А = ¥; б) х ® ¥.

Во многих случаях это правило позволяет раскрыть неопределенности и других видов, применив предварительно те или иные преобразования. Так, неопределенности вида 0 ? ¥ или ¥ – ¥ приводят к виду или путем алгебраических преобразований данной функции; в случае неопределенности вида 00, ¥0, или 1¥ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры:

1. Неопределенность вида (∞-∞) : (неопределенность вида , применяем правило Лопиталя). = (;правило Лопиталя) =

2. Неопределенность вида 00:. Обозначим . Прологарифмируем обе части равенства (неопределенность вида ∞·0) = ( ; правило Лопиталя) = class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1268/image/94.gif">(; правило Лопиталя) = ; ; ℮0=1 т.е. ;

<< | >>
Источник: Гофман В.Г., Брусник Н.А., Семёнова С.В.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. Часть 2. - МГУТУ, 2004. 2004

Еще по теме 3.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.:

  1. § 29. Некоторые теоремы о дифференцируемыхфункциях
  2. Содержание часть 1
  3. 3.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
  4. Вопросы для самопроверки.
  5. Содержание
  6. Содержание дисциплины
  7. Теоремы о среднем.
  8. Правило Лопиталя.
  9. Правила Бернулли-Лопиталя.
  10. 20. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа.
  11. Теорема 24. Первое правило. Если два тела, например А и В (см. фиг. 1), вполне равны друг другу и движутся друг к другу с равной скоростью, то при встрече их каждое отразится в противоположную сторону, не теряя своей скорости.
  12. Теорема 25. Второе правило. Если оба тела неравны по своей массе, именно В больше А (см. фиг. 1), остальные же предложенные условия остаются прежними, то отразится лишь А, и оба тела будут продолжать движение с равной скоростью.