<<
>>

Правило Лопиталя.

(Лопиталь (1661–1704) – французский математик)

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя).

Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

где e – точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

Пусть при х®а отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

Теорема доказана.

Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;

;

Пример: Найти предел .

; ;

.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример: Найти предел .

; ;

; ;

; ;

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Пример: Найти предел .

; ;

– опять получилась неопределенность.

Применим правило Лопиталя еще раз.

; ;

– применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

;

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

Пример: Найти предел .

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно

Пример: Найти предел .

; – получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Правило Лопиталя.:

  1. § 29. Некоторые теоремы о дифференцируемыхфункциях
  2. Вопросы для самопроверки
  3. 3.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
  4. Формула Тейлора.
  5. Вопросы для самопроверки.
  6. Содержание дисциплины
  7. Правило Лопиталя.
  8. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  9. Правила Бернулли-Лопиталя.
  10. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  11. Контрольная работа №2
  12. Контрольная работа №2