<<
>>

Теорема Коши.

( Коши (1789–1857)– французский математик)

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ? 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это – очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢(e) = 0. Т.к.

, то

А т.к. , то id="Рисунок 2843" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/1092.gif">

Теорема доказана.

Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Теорема Коши.:

  1. § 29. Некоторые теоремы о дифференцируемыхфункциях
  2. 3.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
  3. Теорема Коши.
  4. Условия Коши – Римана.
  5. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
  6. Тема 16. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
  7. 7.1. Постановка задачи Коши
  8. Лекция 5 Теорема Коши для многосвязных областей
  9. Интеграл типа Коши
  10. 3. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана
  11. 7. Степенные ряды. Теорема Адамара