Интеграл типа Коши

Интеграл типа Коши является обобщением интеграла Коши.

На дуге АВ задана функция f(t), не обязательно аналитическая, удовлетворяющая дуге АВ условию Гельдера:

где - некоторое положительное число.

Построим аналитическую функцию

- интеграл типа Коши.

F(z) является аналитической во всей плоскости за исключением контура L. В бесконечно удалённой точке

Найдём предельное значение функции F(z) при , где t – точка контура, не совпадающая с точками А и В.

Пусть слева от контура.

Первое слагаемое – сингулярный интеграл.

Получим

Аналогично находим

Объединяя полученные равенства, получим

- формулы Сохоцкого-Племеля.

Рассмотрим частный случай: контур замкнут, а функция является граничным значением функции , то есть .

В этом случае интеграл типа Коши переходит в интеграл Коши. Кроме того, теперь если точка лежит вне контура , то, в соответствии с теоремой Коши

Следовательно, . Из формул Сохоцкого-Племеля следует

Полученное соотношение, справедливое для граничных значений аналитической функции, называется тождеством Племеля.

Рассмотрим задачу вычисления сингулярного интеграла

Рассмотрим первый интеграл:

Таким образом, первый интеграл не является несобственным.

- точка обходится слева. Окончательно получим

Источник: И.М. Лавит. Теория функций комплексного переменного. 2001

Еще по теме Интеграл типа Коши: