Лекция 14 Задача Римана[5]

Пусть требуется построить аналитическую функцию F(z), обращающуюся в бесконечно удалённой точке в нуль и удовлетворяющую на отрезке действительной оси длиной 2a (см.

где - заданная функция, подчиняющаяся условию Гельдера.

Отметим, что поставленная задача эквивалентна решению интегрального уравнения:

Если бы была задана разность значений функции на берегах разреза, задача решалась бы просто

Пусть , тогда

Чтобы решить поставленную задачу, введём в рассмотрение функцию

Когда , тогда

Рассматриваемый отрезок следует представлять себе как разрез в плоскости, который недопустимо пересекать. При обходе разреза все аналитические функции должны меняться непрерывно. В точке t имеем

Пусть

Таким образом, при обходе любого конца разреза функция меняет знак на противоположный. Далее

Таким образом, с помощью введения функции вместо суммы граничных значений аналитической функции получена разность граничных значений (но, конечно, другой аналитической функции!). Теперь найдем с использованием формул Сохоцкого-Племеля