Задача Дирихле для круга
Требуется найти гармоническую функцию, определенную в круге и принимающую на его контуре заданные непрерывно изменяющиеся значения.
Для решения задачи используем тот факт, что действительная и мнимая части голоморфной функции являются гармоническими функциями.
. Мнимую часть можно выбрать произвольно. Положим ее равной нулю. Определим аналитическую функцию формулой
Ее действительная часть – искомая функция. Найдем функцию 
. По формулам Сохоцкого-Племеля
Граничное условие записывается в виде:
или
Разложим последнюю дробь на сумму элементарных дробей:
Получим
| |
Последнее слагаемое в левой части не зависит от t и представляет собой константу. Учтем, что правая часть – действительная величина. Попытаемся найти решение уравнения в предположении, что 
- действительная величина. Приходим к выражению
Очевидно, что a=2. Найдем константу 
:
Отделив действительную часть, получим известную формулу Пуассона.