<<
>>

Задача Дирихле для круга

Требуется найти гармоническую функцию, определенную в круге и принимающую на его контуре заданные непрерывно изменяющиеся значения.

Для решения задачи используем тот факт, что действительная и мнимая части голоморфной функции являются гармоническими функциями.

Введём в рассмотрение определенную на контуре функцию комплексной переменной f(t)=u+iv . Её действительная часть задана как . Мнимую часть можно выбрать произвольно. Положим ее равной нулю.

Определим аналитическую функцию формулой

Ее действительная часть – искомая функция. Найдем функцию . По формулам Сохоцкого-Племеля

Граничное условие записывается в виде:

или

Разложим последнюю дробь на сумму элементарных дробей:

Получим

Последнее слагаемое в левой части не зависит от t и представляет собой константу. Учтем, что правая часть – действительная величина. Попытаемся найти решение уравнения в предположении, что - действительная величина. Приходим к выражению

Очевидно, что a=2. Найдем константу :

Отделив действительную часть, получим известную формулу Пуассона.

<< | >>
Источник: И.М. Лавит. Теория функций комплексного переменного. 2001

Еще по теме Задача Дирихле для круга:

  1. Содержание дисциплины
  2. Решение задачи Дирихле для круга.
  3. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  4. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  5. ЛОБАЧЕВСКИЙ И ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В МАТЕМАТИКЕ1.
  6. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  7. 3. Применение теории потенциала в классических задачах математической физики
  8. 4. Другие применения методов потенциала
  9. 7. Метод собственных функций для задач теории колебаний
  10. Задача Дирихле для круга
  11. 20) Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге (кольце, вне круга, секторе круга или кольца).