Задача Дирихле для круга
Требуется найти гармоническую функцию, определенную в круге и принимающую на его контуре заданные непрерывно изменяющиеся значения.
Для решения задачи используем тот факт, что действительная и мнимая части голоморфной функции являются гармоническими функциями.
. Мнимую часть можно выбрать произвольно. Положим ее равной нулю. Определим аналитическую функцию формулой
Ее действительная часть – искомая функция. Найдем функцию 
. По формулам Сохоцкого-Племеля
Граничное условие записывается в виде:
или
Разложим последнюю дробь на сумму элементарных дробей:
Получим
| |
Последнее слагаемое в левой части не зависит от t и представляет собой константу. Учтем, что правая часть – действительная величина. Попытаемся найти решение уравнения в предположении, что 
- действительная величина. Приходим к выражению
Очевидно, что a=2. Найдем константу 
:
Отделив действительную часть, получим известную формулу Пуассона.
Еще по теме Задача Дирихле для круга:
- 20) Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге (кольце, вне круга, секторе круга или кольца).
- Решение задачи Дирихле для круга.
- Варфоломеев Е.П.. Созерцание выше знания. Сборник прозаизмов и афоризмов с приложениями для широкого круга читателей, позволяющими произвести расшифровку слов, цифр, фамилий, имён и т.д. Книга кроме того является пособием для школ и вузов.Тула,2014– с. 387, 2014
- Клименко Ю.и.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»), 2005
- 7. Метод собственных функций для задач теории колебаний
- 4.4. Задачи для самостоятельной работы
- Задачи для самостоятельного решения
- Тромбоэмболия сосудов большого круга кровообращения
- Задачи для самостоятельного решения
- Об ограничении круга «посвящённых»
- Задачи для самостоятельной работы
- Задачи для самостоятельной работы
- Задачи для самостоятельного решения
- Задачи для самостоятельного решения
- Задачи для самостоятельного решения
- Задачи для самостоятельного решения
- 4. Методы расщепления для прикладных задач математической физики