<<
>>

Решение задачи Дирихле для круга.

Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j – полярный угол.

Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа

и при

Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:

Полагаем Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:

Таким образом, имеем два уравнения:

Общее решение первого уравнения имеет вид:

Решение второго уравнения ищем в виде: .

При подстановке получим:

Общее решение второго уравнения имеет вид: .

Подставляя полученные решения в уравнение , получим:

Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ? 0.

Если k = 0, то следовательно .

Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.

Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.

Окончательно получаем:

При этом:

Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона.

(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Решение задачи Дирихле для круга.:

  1. Содержание дисциплины
  2. Решение задачи Дирихле для круга.
  3. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  4. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  5. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  6. 3. Применение теории потенциала в классических задачах математической физики
  7. 4. Другие применения методов потенциала
  8. 7. Метод собственных функций для задач теории колебаний
  9. Задача Дирихле для круга
  10. 20) Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге (кольце, вне круга, секторе круга или кольца).