20) Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге (кольце, вне круга, секторе круга или кольца).
Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных (методом Фурье) в случае некоторых простейших областей: круг, прямоугольник, шар, цилиндр и некоторые другие.
Решение краевой задачи для круга (внутренняя задача): Найти функцию
, удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри круга, радиуса 
и удовлетворяющую граничным условиям: 
Предположим, что функция 
непрерывна и дифференцируема; решение задачи 
и 
непрерывно в замкнутой области 
, кроме того, из физических соображений, функция 
в области должна быть удовлетворена условию: 
. Будем искать решение задачи 
в виде
. Подставим в уравнение 
Получаем два простых ДУ:
- обычное ЛОДУ с частными коэффициентами, решение в виде: 
. Функция будет изменяться, если 
Следовательно, решение будет: 
, где:
,где 
и 
- произвольные константы.
: 
- уравнение Бернулли – ЛОДУ с переменными коэффициентами. Решение в виде: 
. Следовательно решение уравнения окончательно: 
Рассмотрим полученное решение для уравнения 
, соответственно 
. При 
уравнение будет иметь вид: 
- обычное ЛДУ 2 порядка.