<<
>>

20) Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге (кольце, вне круга, секторе круга или кольца).

Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных (методом Фурье) в случае некоторых простейших областей: круг, прямоугольник, шар, цилиндр и некоторые другие.

Решение краевой задачи для круга (внутренняя задача): Найти функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри круга, радиуса и удовлетворяющую граничным условиям:

Предположим, что функция непрерывна и дифференцируема; решение задачи и непрерывно в замкнутой области , кроме того, из физических соображений, функция в области должна быть удовлетворена условию: . Будем искать решение задачи в виде

. Подставим в уравнение

Получаем два простых ДУ:

- обычное ЛОДУ с частными коэффициентами, решение в виде:

. Функция будет изменяться, если Следовательно, решение будет:

, где:

,где и - произвольные константы.

Вернемся к решению :

- уравнение Бернулли – ЛОДУ с переменными коэффициентами. Решение в виде:

. Следовательно решение уравнения окончательно: Рассмотрим полученное решение для уравнения , соответственно . При уравнение будет иметь вид: - обычное ЛДУ 2 порядка.

<< | >>
Источник: Ответы на вопросы к экзамену по математической физике. 2017

Еще по теме 20) Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге (кольце, вне круга, секторе круга или кольца).:

  1. 20) Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге (кольце, вне круга, секторе круга или кольца).