4. Резольвента и спектр оператора. Линейная независимость собственных векторов. Спектр вполне непрерывного оператора (конечномерность собственного подпространства, конечное число собственных значений вне круга)

Часто вместо уравнений (3) приходится рассматривать уравнения

(8)

где , х – искомый, у – известный элемент, а l – некоторый числовой параметр.

(8*)

Одновременно с уравнением (8) целесообразно рассматривать уравнение

(9)

которое, называют однородным уравнением, соответствующим уравнению (8). Уравнение же (8) называют тогда неоднород­ным. Ясно, что однородное уравнение всегда имеет нулевое решение x = 0.

Пусть оператор для данного значения пара­метра имеет обратный оператор этот оператор называют разрешающим оператором или резольвентой для уравнения (8) или оператора А и обо­значают . Тогда уравнение (8) при любом имеет решение и притом только одно. Однородное уравнение (9) имеет в этом случае лишь нулевое решение. Такие значения параметра l называются регулярными значениями оператора А или уравнения (8). Множество значений параметра l, не являющиеся регулярными, называются спектром оператора А. Может случиться, что однородное уравнение (9), кроме нулевого, имеет еще одно или несколько ре­шений, отличных от нуля. Такие значения параметра, при которых это происходит, называются характеристическими числами или собственными значе­ниями оператора А.

В 7 главе (теорема 7) рассматривался вопрос обратимости оператора . В этом случае обратный оператор не является, строго говоря, резольвентой оператора А. Однако с помощью этого оператора резольвенту можно по­лучить без труда. В самом деле, преобразуем оператор следующим образом:

где Если теперь то и поэтому существует . Но тогда т.е. Таким образом, резольвента представима в виде сходящегося в области ряда

=

Пример 1. Рассмотрим в пространстве С [0, 1] опе­ратор умножения на независимое переменное Уравнение (8) принимает в этом случае

(10)

и решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на

Все значения параметра, принадлежащие отрезку [0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть . Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке Для такой функции равенство не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции х (t), ибо в точке левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при уравнение (10) не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность спектру оператора А, Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения при любом t, отличном от, а следовательно, в силу непрерывности и при обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.

Пример 2. Положим Х = Y = R_n и пусть оператор А задается квадратной матрицей Уравнение (4) примет для вид

(11)

Это есть система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Если определитель системы

отличен от нуля, т. е. если не есть корень уравнения, то система уравнений (11) имеет при любых правых частях единственное решение, и следовательно, все такие значения параметра l регулярны. Корни уравнения D(l) = 0 образуют спектр, так как при таких l система (11) в общем случае не­разрешима. Однако при этих значениях параметра однород­ная система

имеет нетривиальное решение (т. е. отличное от нулевого), и, следовательно, любая точка спектра есть собственное зна­чение.

В приведённых примерах спектр оператора либо не со­держал, ни одного собственного значения, либо состоял только, из собственных значений. Имеются примеры, где спектр оператора содержит как собственные значения, так и точки, не являющиеся собственными значёниями.

Лемма 5. Собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство. Действительно, пусть имеют место равенства

и .

Умножим первое равенство скалярно на , второе на и вычитая второе из первого, получим

Левая часть равенства равна нулю вследствие симметрии оператора А. Так как , то Лемма 5 доказана.

Лемма 6. У вполне непрерывного оператора А всякая ортогональная нормированная система собственных векторов с собственными значениями, превосходящими по модулю положительное значение d, конечна.

Доказательство. Допустим, что нашлась бесконечная система таких собственных векторов. Каждый из них оператором переводится в себя самого с числовым множителем, по модулю большим числа d. Пусть и - какие-то два из этих собственных векторов:

Имеем

Это означает, что расстояние между векторами, полученными после воздействия оператора на вектора системы , заведомо будут превосходить Но из совокупности таких векторов нельзя выбрать никакой сходящейся последовательности, что противоречит полной непрерывности оператора . Лемма 6 доказана.

Следствие. Существует только конечное число взаимно ортогональных векторов с данным собственным значением иными словами, каждое собственное подпространство, отвечающее ненулевому собственному значению( т.е. совокупность всех собственных векторов оператора А с фиксированным собственным значением l. Это множество очевидно, есть (замкнутое) подпространство в Н) вполне непрерывного симметричного оператора конечномерно.