Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

Определение: Пусть L – заданное n– мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A.

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть– характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

;

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А.

или

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l – корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если – собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l2 – 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;

Для корня l1 = 7:

Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t– параметр.

Для корня l2 = 1:

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; –t) где t– параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l2 – 4l + 4 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = l2 = 2;

Получаем:

Из системы получается зависимость: x1 – x2 = 0.

Собственный вектор можно записать: .

Рассмотрим другой частный случай. Если 375" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/516.gif">– собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

,

где l – собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

, то

Характеристическое уравнение:

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

Составим характеристическое уравнение:

(1 – l)((5 – l)(1 – l) – 1) – (1 – l – 3) + 3(1 – 15 + 3l) = 0

(1 – l)(5 – 5l – l + l2 – 1) + 2 + l – 42 + 9l = 0

(1 – l)(4 – 6l + l2) + 10l – 40 = 0

4 – 6l + l2 – 4l + 6l2 – l3 + 10l – 40 = 0

–l3 + 7l2 – 36 = 0

–l3 + 9l2 – 2l2 – 36 = 0

–l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0

(l + 2)(–l2 + 9l – 18) = 0

Собственные значения: l1 = –2; l2 = 3; l3 = 6;

1) Для l1 = –2:

Если принять х1 = 1, то ? х2 = 0; x3 = –1;

Собственные векторы:

2) Для l2 = 3:

Если принять х1 = 1, то ? х2 = –1; x3 = 1;

Собственные векторы:

3) Для l3 = 6:

Если принять х1 = 1, то ? х2 = 2; x3 = 1;

Собственные векторы:

Пример.

Составим характеристическое уравнение:

–(3 + l)((1 – l)(2 – l) – 2) + 2(4 – 2l – 2) – 4(2 – 1 + l) = 0

–(3 + l)(2 – l – 2l + l2 – 2) + 2(2 – 2l) – 4(1 + l) = 0

–(3 + l)(l2 – 3l) + 4 – 4l – 4 – 4l = 0

–3l2 + 9l – l3 + 3l2 – 8l = 0

–l3 + l = 0

l1 = 0; l2 = 1; l3 = –1;

Для l1 = 0:

Если принять х3 = 1, получаем х1 = 0, х2 = –2

Собственные векторы ?t, где t – параметр.

Аналогично можно найти и для l2 и l3.