<<
>>

Матрицы линейных преобразований.

Пусть в n– мерном линейном пространстве с базисом ,,…, задано линейное преобразование А.

Тогда векторы А,…,А– также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A= a11+ a21+…+ an1

A= a12+ a22+…+ an2

……………………………….

A= an1+ an2+…+ ann

Тогда матрица А = 444" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/494.gif"> называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор = x1+ x2+…+ xn, то AÎ L.

, где

……………………………..

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,.

В матричном виде:

, А?,

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде: x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1?x + 1?y + 0?z

y¢ = 0?x + 1?y + 1?z

z¢ = 1?x + 0?y + 1?z

A =

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В?А

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .

С = В?А

Т.е.

Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Матрицы линейных преобразований.:

  1. 5.3 Волновая функция и матрица плотности иерархических систем
  2. 7.8. Двойственные задачи линейного программирования
  3. § 2, Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы, Обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли
  4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАННЫХ
  5. 1.4. Матрицы. Основные свойства и операции.
  6. 1.5.Векторы. Основные операции над векторами.
  7. Элементарные преобразования матрицы.
  8. Базисный минор матрицы.
  9. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
  10. Метод Крамера.
  11. Матрицы линейных преобразований.