Линейные операторы

Пусть X,Y – линейные нормированные пространства. Понятие линейного оператора А: X®Y означает справедливость тождеств А(x₁+x₂) = А(x₁) + А(x₂), А(lx) = lА(x).

1. Рассмотрим квадратную матрицу А = (а_ij) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n). Рассмотрим отображение А: ®, действующее по правилу А(х₁,…,х_n) = . Из свойств матриц и векторов следует линейность оператора А. Напомним что сходимость в пространстве покоординатная, т.е. х⁽ⁿ⁾®х⁽⁰⁾, если при i=1,…,n. Отсюда следует, что А(х⁽ⁿ⁾) ® А(х⁽⁰⁾), т.е. оператор А непрерывный. Обратно, любое линейное отображение А: ® порождается некоторой матрицей А и автоматически является непрерывным.

2. Пусть K(t,s) -функция, непрерывная на квадрате 0 £ t £ 1, 0 £ s £ 1. Сопоставим функции х(t) ÎC функцию y(s) = Функция y(s) непрерывная, т.е. y(s) ÎC. Тем самым определен оператор A: C®C. Его линейность следует из свойств интеграла. Далее, если r(х₁,х₂) = maxçх₁(t)- х₂(t)ç