<<
>>

Линейные операторы

Пусть X,Y – линейные нормированные пространства. Понятие линейного оператора А: X®Y означает справедливость тождеств А(x1+x2) = А(x1) + А(x2), А(lx) = lА(x).

Нас будут интересовать непрерывные линейные операторы. Их множество будем обозначать символом L(X,Y). В этом пункте в частности будет установлено, что L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства. Приведем несколько примеров.

1. Рассмотрим квадратную матрицу А = (аij) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n). Рассмотрим отображение А: ®, действующее по правилу А(х1,…,хn) = . Из свойств матриц и векторов следует линейность оператора А. Напомним что сходимость в пространстве покоординатная, т.е. х(n)®х(0), если при i=1,…,n. Отсюда следует, что А(х(n)) ® А(х(0)), т.е. оператор А непрерывный. Обратно, любое линейное отображение А: ® порождается некоторой матрицей А и автоматически является непрерывным.

2. Пусть K(t,s) -функция, непрерывная на квадрате 0 £ t £ 1, 0 £ s £ 1. Сопоставим функции х(t) ÎC функцию y(s) = Функция y(s) непрерывная, т.е. y(s) ÎC. Тем самым определен оператор A: C®C. Его линейность следует из свойств интеграла. Далее, если r(х12) = maxçх1(t)- х2(t)ç

<< | >>
Источник: Шпаргалка по курсу Функциональный анализ. 2017

Еще по теме Линейные операторы:

  1. § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
  2. § 6. КИБЕРНЕТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДЕЙСТВИЙ НАД ОПЕРАТОРАМИ
  3. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
  4. Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство. Линейные операторы.
  5. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.
  6. Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
  7. Линейные операторы
  8. ГЛАВА 7 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
  9. 1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.
  10. 2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
  11. 3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
  12. 4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
  13. 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).
  14. 6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
  15. 1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха