<<
>>

7. Самосопряженный оператор. Норма самосопряженного оператора

Определение 4. Линейный ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве Н называется самосопряженным или симметрическим, если он совпадает со своим сопряженным: А = А*.

Иными словами, самосопряженный оператор А характеризуется условием (Ax, y) = (x, Ay) для .

В последнем примере, если ядро K(t, s) симметрическое: K(t, s) = K(s, t), то

и значит, интегральный оператор будет симметрическим.

Нетрудно видеть, что любая линейная комбинация самосопряженных операторов также является самосопряженным оператором.

Таким образом, в линейном нормированном пространстве линейных операторов, отображающих Н в Н, самосопряженные операторы составляют линейное многообразие. Кроме того, мы сейчас докажем, что это подмножество замкнуто и, следовательно, является подпространством. Другими словами, если операторы An – самосопряженные и An (по норме), то и оператор А – самосопряженный. Докажем даже более сильное утверждение.

Теорема 13. Если операторы An – самосопряженные и последовательность {An} точечно сходится к оператору А, то А будет также самосопряженный оператор.

Доказательство. Из непрерывности скалярного произведения следует, что при любых .

(Ах, у) = (Аnx, y) = nx, y) = (x, Аny) = (x, Аny) = (x, Ay).

Теорема доказана.

Если операторы А и В – самосопряжённые, то Следовательно, для того, чтобы оператор АВ был самосопряжённым, необходимо и достаточно, чтобы , т.е., чтобы операторы А и В были перестановочны между собой. В частности, все степени самосопряжённого оператора А также есть самосопряжённые операторы.

Имеет место следующая важная формула для нормы самосопряжённого оператора.

Теорема 14. Если оператор А – самосопряжённый, то

Доказательство. По неравенству Коши – Буняковского имеем, при Следовательно, если то

Докажем обратное неравенство.

Заметим, что любой можно представит в виде где (т.к. если то если то любой вектор с нормой равной единице). Отсюда для любого выполнено |(Az, z)| = ||z||2|(Az¢, z¢ )| £ C||z||2.

Теперь для любых учитывая равенство имеем

и, вычитая из первого равенства второе, находим

Отсюда, и установленного выше неравенства |(Az, z)| £ C||z||2

|(Ax, y)| £ C(||x + y||2 + ||x – y||2)|.

Воспользуемся равенством параллелограмма (теорема 6.8)

,

получаем

|(Ax, y)| £ C(||x||2 + ||y||2)|.

Полагая подставим в последнем неравенстве . Тогда и мы получаем или Это же неравенство верно и при Ах = 0. Следовательно, и, тем самым, равенство доказано.

Следствие 1. Если для самосопряжённого оператора при всех то А=0.

Действительно, если при всех то по теореме, и значит А = 0.

Для самосопряжённого оператора А вводится ещё понятие его границ – верхней и нижней:

Следствие 2.Из теоремы следует, что

Из определения границ легко выводится, что для любого имеет место соотношение

Задачи

1. Являются ли линейными следующие функционалы в C[0, 1]?

1) ;

2) F(x)=x(1/2);

3) ;

4)

5) ;

6) ;

7) F(x)=x¢(t0);

8) ;

9) ;

10) .

Какие из этих функционалов непрерывны в C[0, 1]? Вычислить их нормы.

Какие из этих функционалов непрерывны в L2[0,1]? Вычислить их нормы.

2. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих классах элементов из l2, будут линейными; непрерывными?

1) f(x)= xksink;

2) f(x)= xk;

3) f(x)= xksgn(k-n);

4) f(x)= xk2k1/2;

5) f(x)= xkk-1/2;

6) f(x)= xk2;

7) f(x)= xk-xk-1;

8) f(x)= |xk|;

9) f(x)=supk|xk|;

10) f(x)= |xk| 2.

3. Найти норму функционала в пространстве C[0, 1].

4. Непрерывны ли на пространстве , следующие линейные функционалы

а) ;

б) ;

5. Проверить, что функционал

непрерывен в пространстве ; показать, что точная верхняя грань его значений в замкнутом единичном шаре пространства С[0,1] равна 1, но эта верхняя грань не достигается ни на каком элементе единичного шара.

6. Пусть в гильбертовом пространстве последовательность {хn} слабо сходится к х0, т.е. (xn, y) ® (x0, y) для любого y ÎH, и ||хn|| ® ||х0||. Показать, что хn ® х0.

7. Если в гильбертовом пространстве последовательность {хn} слабо сходится к х0 и последовательность {yn} сходится по норме к y0, то (хn, yn) ® (х0, y0). Достаточно ли слабой сходимости последовательности {yn}?

8. Докажите, что в конечномерном пространстве слабая сходимость совпадает с сильной, т.е. сходимостью по норме.

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 7. Самосопряженный оператор. Норма самосопряженного оператора:

  1. 2. Понятия и предложения из теории функций и функционального анализа
  2. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  3. 3. Вариационные методы
  4. 4. Проекционные методыОбширный класс методов приближенного решения уравнений вида Аи = / использует следующий ПОДХОД: решение ищется В виде UN = = где коэффициенты а, определяются из условия равенства
  5. 4. Методы расщепления для прикладных задач математической физики
  6. 7. Самосопряженный оператор. Норма самосопряженного оператора
  7. 5. Существование собственного значения у вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве. Наибольшее и наименьшее собственные значения. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении по собственным векторам