7. Самосопряженный оператор. Норма самосопряженного оператора

Определение 4. Линейный ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве Н называется самосопряженным или симметрическим, если он совпадает со своим сопряженным: А = А*.

Иными словами, самосопряженный оператор А характеризуется условием (Ax, y) = (x, Ay) для .

и значит, интегральный оператор будет симметрическим.

Нетрудно видеть, что любая линейная комбинация самосопряженных операторов также является самосопряженным оператором.

Таким образом, в линейном нормированном пространстве линейных операторов, отображающих Н в Н, самосопряженные операторы составляют линейное многообразие. Кроме того, мы сейчас докажем, что это подмножество замкнуто и, следовательно, является подпространством. Другими словами, если операторы A_n – самосопряженные и A_n (по норме), то и оператор А – самосопряженный. Докажем даже более сильное утверждение.

Теорема 13. Если операторы A_n – самосопряженные и последовательность {A_n} точечно сходится к оператору А, то А будет также самосопряженный оператор.

Доказательство. Из непрерывности скалярного произведения следует, что при любых .

(Ах, у) = (А_nx, y) = (А_nx, y) = (x, А_ny) = (x, А_ny) = (x, Ay).

Теорема доказана.

Если операторы А и В – самосопряжённые, то Следовательно, для того, чтобы оператор АВ был самосопряжённым, необходимо и достаточно, чтобы , т.е., чтобы операторы А и В были перестановочны между собой. В частности, все степени самосопряжённого оператора А также есть самосопряжённые операторы.

Имеет место следующая важная формула для нормы самосопряжённого оператора.

Теорема 14. Если оператор А – самосопряжённый, то

Доказательство. По неравенству Коши – Буняковского имеем, при Следовательно, если то

Докажем обратное неравенство. Заметим, что любой можно представит в виде где (т.к. если то если то любой вектор с нормой равной единице). Отсюда для любого выполнено |(Az, z)| = ||z||²|(Az¢, z¢ )| £ C||z||².

Теперь для любых учитывая равенство имеем

и, вычитая из первого равенства второе, находим

Отсюда, и установленного выше неравенства |(Az, z)| £ C||z||²

|(Ax, y)| £ C(||x + y||² + ||x – y||²)|.

Воспользуемся равенством параллелограмма (теорема 6.8)

,

получаем

|(Ax, y)| £ C(||x||² + ||y||²)|.

Полагая подставим в последнем неравенстве . Тогда и мы получаем или Это же неравенство верно и при Ах = 0. Следовательно, и, тем самым, равенство доказано.

Следствие 1. Если для самосопряжённого оператора при всех то А=0.

Действительно, если при всех то по теореме, и значит А = 0.

Для самосопряжённого оператора А вводится ещё понятие его границ – верхней и нижней:

Следствие 2.Из теоремы следует, что

Из определения границ легко выводится, что для любого имеет место соотношение

Задачи

1. Являются ли линейными следующие функционалы в C[0, 1]?

1) ;

2) F(x)=x(1/2);

3) ;

4)

5) ;

6) ;

7) F(x)=x¢(t₀);

8) ;

9) ;

10) .

Какие из этих функционалов непрерывны в C[0, 1]? Вычислить их нормы.

Какие из этих функционалов непрерывны в L²[0,1]? Вычислить их нормы.

2. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих классах элементов из l², будут линейными; непрерывными?

1) f(x)= x_ksink;

2) f(x)= x_k;

3) f(x)= x_ksgn(k-n);

4) f(x)= x_k²k^1/2;

5) f(x)= x_kk^-1/2;

6) f(x)= x_k²;

7) f(x)= x_k-x_k-1;

8) f(x)= |x_k|;

9) f(x)=sup_k|x_k|;

10) f(x)= |x_k| ².

3. Найти норму функционала в пространстве C[0, 1].

4. Непрерывны ли на пространстве , следующие линейные функционалы

а) ;

б) ;

5. Проверить, что функционал

непрерывен в пространстве ; показать, что точная верхняя грань его значений в замкнутом единичном шаре пространства С[0,1] равна 1, но эта верхняя грань не достигается ни на каком элементе единичного шара.

6. Пусть в гильбертовом пространстве последовательность {х_n} слабо сходится к х₀, т.е. (x_n, y) ® (x₀, y) для любого y ÎH, и ||х_n|| ® ||х₀||. Показать, что х_n ® х₀.

7. Если в гильбертовом пространстве последовательность {х_n} слабо сходится к х₀ и последовательность {y_n} сходится по норме к y₀, то (х_n, y_n) ® (х₀, y₀). Достаточно ли слабой сходимости последовательности {y_n}?

8. Докажите, что в конечномерном пространстве слабая сходимость совпадает с сильной, т.е. сходимостью по норме.