<<
>>

§2. Операторы, порождаемые вероятностями перехода МПШ.

2.1. Пусть – множество всех конечных мер на и .

Пусть - семейство переходных вероятностей некоторого марковского процесса в широком смысле. Обозначим

, (5)

где

(6)

для любых и. Ясно, что - двухпараметрическое семейство операторов. Из соотношения Чепмена-Колмогорова следует закон композиции операторов . Действительно, пусть , тогда в силу соотношения Чепмена-Колмогорова и теоремы Фубини, имеем:

Следовательно

. (7)

2.2. Определим, теперь, второе семейство операторов. Пусть - множество измеримых ограниченных функций на со значениями в.

Положим , т.е. . Из определения вероятности перехода следует, что - измеримая по функция. Если в ввести норму , то, очевидно, . Следовательно,– двухпараметрическое семейство операторов. Из соотношения Чепмена-Колмогорова при следуют равенства

Стало быть, закон композиции операторов имеет вид

(8)

Очевидны следующие свойства оператора:

1), 2).

2.3. Определение. МПШ называется однородным (ОМПШ), если зависят только от разности , т.е.

(9)

Поэтому удобно ввести обозначение .

Для ОМПШ соотношение Чепмена-Колмогорова будет иметь вид:

В этом случае семейства операторов не зависят от и поэтому вместо двухпараметрического семейства операторовестественно рассматривать однопараметрические семейства , определенные по правилам,:

Очевидно, что:

. (10)

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме §2. Операторы, порождаемые вероятностями перехода МПШ.:

  1. §2. Операторы, порождаемые вероятностями перехода МПШ.