Глава 5. Марковские процессы в широком смысле.

Введение.

В основе понятия марковского случайного процесса лежит идея отсутствия последействия. Поясним это. Представим себе динамическую систему, все возможные состояния которой лежат в .

В этой главе мы приводим теорию случайных процессов с непрерывным временем, у которых отсутствует последействие.

§1. Переходные вероятности. Определение марковского процесса.

1.1. Пусть имеется стохастический базис . Пусть на стохастическом базисе задан случайный процесс со значениями в , где – польское пространство.

Определение. Случайный процесс называется марковским, если для , Р – п.н.

(1)

для любого .

Замечание. В силу теоремы Бореля для каждого существуют:

а) измеримый функционал, обозначаемый через , такой, что , следовательно

Р – п.н.

б) измеримая функция, обозначаемая через , такая, что , следовательно Р – п.н.

причем, в силу (1) Р – п.н. , т.е. Р – п.н.

1.2. Пусть– измеримое пространство, Е – польское (полное сепарабельное метрическое) пространство, .

Определение.

1) - при фиксированных – мера;

2) - при фиксированных – измеримая (по Борелю) функция.

Тогда называется переходной вероятностью, или вероятностью перехода.

Гипотеза H₁. Существует семейство переходных вероятностей для марковского процесса со значениями в, такое, что Р – п.н. для любого

(2)

Определение. Если - марковский процесс со значениями в и выполнено (2), то мы будем говорить, что задан марковский процесс с семейством переходных вероятностей .

Предложение 1. Пусть - марковский процесс с семейством переходных вероятностей .Тогда при справедливо

(3)

где , ((3) называют уравнением Колмогорова–Чепмена).

Доказательство. Доказательство утверждения предложения 1 проводится аналогично доказательству теоремы 1 гл. 2, поэтому его не приводим.

Соглашение H₂: Пусть

Определение. Марковским процессом в широком смысле (МПШ) называется такой процесс, что:

i) принимает значения в;

ii) – семейство его переходных вероятностей;

iii) выполнены гипотеза Н₁ и соглашение Н₂.

1.3. Закон входа МПШ. Пусть и , где - марковский процесс в широком смысле, тогда, в силу его марковского свойства, имеем:

. (4)

Равенство (4) называется законом входа для МПШ.