§11 Эргодические марковские цепи.

11.1. Определение. Однородная марковская последовательность называется эргодической, если существует предел , который не зависит от состояния и выполняются условия:

1) , 2)

Замечание.

Теорема 47 (достаточные условия существования эргодического распределения). Пусть - переходная вероятность за один шаг. Пусть существует такое, что . Тогда существует вектор , компоненты которого и , причем для

Доказательство. Из соотношения Чепмена-Колмогорова, имеем

.

Обозначим: Покажем, что при . Действительно ,т.

Аналогично устанавливается неравенство .

Из соотношения Чепмена - Колмогорова следует, что

Таким образом для и , имеем отсюда следует неравенство

. (27)

Аналогичным образом легко показать

(28)

Вычтем из (27) (28), имеем . Выбирая кратное (например ), получаем, что . Отсюда следует при .

Доказательство закончено.

11.2. Теорема 48. Пусть имеется однородная марковская цепь , а - переходная вероятность за один шаг. Пусть . Тогда

1) ;

2) либо

3) если , то эргодического распределения не существует;

4) если то эргодическое распределение существует и единственно.

Доказательство. 1) .В силу леммы Фату .Рассмотрим т. е.

Пусть существует индекс :

Следовательно

Мы пришли к противоречию. Значит наше предположение неверно, поэтому . (29)

2) Из утверждения 1) теоремы имеем

Значит для

Устремляя в (29) , получаем

3) Если вектор , то он не является распределением вероятностей. Следовательно пункт 3) - доказан.

4) , следовательно - распределение вероятностей.

Доказательство закончено.