§1 Основные определения. Описание процессов с непрерывным временем.

1.1. Пусть - измеримое пространство.

Определение. Пусть , а - семейство на -алгебре на .

Замечание. Фильтрация описывает историю некоторого явления, и называют -алгеброй событий предшествующих моменту времени t.

Определение. Будем говорить, что поток -алгебр непрерывен справа, если .

Определение. Пусть имеется два измеримых пространства и .

Для значение называется состоянием случайного процесса в момент времени . Для фиксированного множество называется траекторией или реализацией случайного процесса.

Определение. Случайный процесс называется согласованным с фильтрацией , если при каждом он -измерим, для него будем использовать обозначение .

Определение. - вероятностное пространство с фильтрацией называется стохастическим базисом, если - непрерывно справа и для него будем использовать обозначение .

Соглашение: будем полагать везде ниже, что стохастический базис полный, т.е. -алгебра F и фильтрация (для ) пополнены множествами нулевой меры P.

1.2. Определение. Случайный процесс называется измеримым, если отображение измеримо относительно -алгебры .

Определение. Случайный процесс называется прогрессивно измеримым, если отображение измеримо относительно .

Замечание. Отметим, что всякий прогрессивно измеримый процесс является согласованным. Обратное утверждение неверно. Однако верно следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть - согласованный процесс и Е - польское пространство. Тогда - прогрессивно измерим.

Доказательство. Для рассмотрим диадическое разбиение отрезка , т. е. разбиение на равных интервала, где .

1.3. Определение. Пусть и - два случайных процесса, определенных на . Процесс называется модификацией процесса , если для каждого Р - п. н.

Определение. Два случайных процесса, определенные на , называются неотличимыми, если Р - п. н. для всех .

Замечание. В определении модификации множество нулевой меры Р, на котором отличаются и может зависеть от , в то время как в определении неотличимых процессов существует только одно множество меры нуль, вне которого для всех . Поясним это на примере. Пусть - мера Лебега на , а Тогда ясно, что - модификация , хотя неотличимости нет, так как .

1.4. Теперь приведем без доказательства достаточные условия существования у процесса модификаций принадлежащих пространствам и, соответственно.

Теорема 2. Пусть случайный процесс со значениями в . Если при всех существуют константы такие, что

(1)

то процесс имеет непрерывную модификацию.

Теорема 3. Пусть случайный процесс со значениями в . Если для любого существуют константы такие, что где , то у процесса существует модификация из .

1.5. Определение. Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева) в точке , если для любого ().

Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева), если он стохастически непрерывен справа (слева) в любой точке .

Определение. Если , то будем говорить, что процесс принадлежит классу .

Определение. Процесс непрерывен справа (слева) в среднем порядка в точке t, если . Процесс непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, если он непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, в каждой точке .

Теорема 4. Если процесс - непрерывен справа (слева) в точке t в среднем порядка p, то он стохастически непрерывен справа (слева) в точке t.

Доказательство следует из неравенства Чебышева. Действительно пусть любое , имеем . Переходя к пределу при получаем утверждение теоремы.

1.6. Пример (пуассоновский процесс). Пусть имеется последовательность независимых в совокупности, одинаково распределенных случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром . Пусть . Положим . Очевидно, что Р - п. н. для . Пусть . Очевидно, что . Таким образом определенный процесс называется пуассоновским. Из приведенных выше построений следует, что непрерывен справа.

Найдем распределение вероятностей . Ясно, что , где Очевидно

Поэтому (2)

Обозначим через - экспоненциальное распределение с параметром , а через - n-кратную свертку этих распределений. Очевидно, что , а Поэтому из (2) имеем: .

Вычислим , имеем

.

Теперь вычислим , имеем

Отсюда следует, что дисперсия пуассоновского процесса в момент времени равна . Отметим, что величина - называется интенсивностью пуассоновского процесса.

Вопрос: Является ли пуассоновский процесс непрерывным в среднем порядка 1? Ответ положительный.

Действительно, так как - неубывающий процесс, т.е. Р - п. н. Поэтому Следовательно, процесс непрерывен в среднем порядка 1 для , а в силу теоремы 4 пуассоновский процесс стохастически непрерывен.