1.2.5 Приближенное описание случайных процессов

Для решения такой задачи в теории стохастических сигналов используется уже известный прием применения характеристик, которые на практике называют моментными или, попросту, начальными или центральными моментами сигнала {X(t)} или совокупности сигналов{X(t}^

{Y(t)}.

Начальным моментом порядка К случайного процесса {X(t)} называется такая функция времени, которая в каждый момент времени t, равна математическому ожиданию К-й степени самого сигнала:

ад

ak (t) = M[Xk (t)] = f Xk (t)f (x, t)dx . (1.70)

—ад

Для определения любого момента ак достаточно знать одномерную функцию плотности распределения вероятностей:

ад

a (t) = M[X(t)] = f X(t)f (x, t)dx . (1.71)

—ад

Это и есть математическое ожидание (или среднее значение) процесса.

Моменты, определяемые для центрированного сигнала, носят название центральных.

Центральный момент s-го порядка - это такая функция времени, которая в каждый момент времени равна математическому ожиданию s-ой степени составляющего центрированного сигнала:

0 * 0 *

jUs(t) = M[X (t)] = f x (t)f (x, t)dx . (1.72)

—ад

Моменты 0-го и 1-го порядка неинформативны, так как

A)(t) = 1; M(t) = 0.

Основное применение получил второй центральный момент:

2

X (t)

Dx (t).

(1.73)

JU2(1 ) = M

Это - дисперсия сигнала, которая характеризует степень разбросанности отдельных реализаций относительно математического ожидания.

Ту же информацию о процессе {X(t)} дает и среднеквадратическое отклонение, численно равное квадратному корню из дисперсии и имеющее размерность самого сигнала.

Для описания случайных процессов используют также смешанные моменты.

Смешанным начальным моментом порядка (k+s) случайного сигнала {X(t)} называется такая функция двух временных аргументов t1 и t2, которая при фиксированных значениях этих аргументов численно равна математическому ожиданию произведения k-й и s-й степеней соответствующих сечений сигнала:

(1.74)

dk * (t1,12) = м [Xk (О X* (t 2)]

Центральный смешанный момент порядка (k+s) определяется выражением вида:

*

k

(1.75)

X (Ox (t2)

Mk* (t1,12) = M

Для приближенного описания свойств случайного процесса наиболее широкое применение получил центральный смешанный момент порядка (1+1):

(1.76)

Mift, 12) = M

= Rx (t1,12)

X(t\) ^(t 2)

- математическое ожидание произведения двух сечений центрированного сигнала. Это уже упоминавшаяся автокорреляционная функция сигнала {X(t)} (авто - т.е.

1. Таким образом, для приближенного описания свойств сигнала используют математическое ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию.

Выясним, о каких свойствах сигнала несет информацию АКФ, а для этого рассмотрим ее собственные свойства.

АКФ обладает свойством симметричности относительно своих аргументов, то есть не изменяет своего значения при перемене временных аргументов местами:

(1.77)

Rx (t1,12) = Rx (t 2,0.

2. По величине АКФ не может превышать произведения среднеквадратических отклонений соответствующих сечений:

(1.78)

Rx (t1,12) 3. При совпадении временных аргументов АКФ превращается в дисперсию:

0

X 2(t)

(1.79)

= Dx (t).

Rx (t, t) = M

То есть набор характеристик, необходимых для приближенного описания случайного сигнала, может быть сокращен до двух: mx и Rx(t). Вернемся ко второму свойству АКФ и положим t]=t2=t:

(1.80)

Rx(t, t) < S2X (t), то есть Rx(t, t) < Dx(t).

Наибольшее значение АКФ имеет при равных временных аргументах, и это наибольшее значение равно дисперсии сигнала.

На практике часто используют нормированную автокорреляционную функцию, под которой понимают функцию вида:

_ M X(t1) X(t2)

(1.81)

Px 12 ) =

Rx (t1> 12 ) = L :

^x (t2 ) ^x (O^x (t2 )

Нормированная АКФ - величина безразмерная. По определению нормированная АКФ - это коэффициент корреляции между двумя сечениями случайного процесса.

Рассмотрим, как будут трансформироваться свойства АКФ при переходе к нормированной функции:

px (^12) = Px (t 2,O;

px (t1,12) < 1;

при равенстве временных аргументтов:

t1 = 12 = t, px (t, t) = 1.

Выясним, как будет вести себя ^x(t1,t2) при изменении интервала времени между сечениями t1 - t2 = т от нуля до бесконечности.

Рисунок 17 - Реализация случайного процесса (к вопросу о поведении нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между сечениями)

Таким образом, выясняется четвертое свойство АКФ:

(1.82)

lim Rx (t1,12) = 0

1 12

Если рассматривать АКФ как функцию интервала времени между сечениями, то эта функция, при стремящемся к бесконечности аргументе, будет стремиться к нулю:

(1.83)

lim Px (t1,12 ) = 0 :

то есть взаимосвязь между сечениями будет ослабевать и даже теряться (в соответствии с рисунком 17).