Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

1.2.5 Приближенное описание случайных процессов

Как уже говорилось выше, для полного описания случайного процесса требуется полный набор его реализаций и математическое (в смысле определения вероятностей законов распределения возможных значений процесса) описание его свойств.
Для решения такой задачи в теории стохастических сигналов используется уже известный прием применения характеристик, которые на практике называют моментными или, попросту, начальными или центральными моментами сигнала {X(t)} или совокупности сигналов{X(t}^
{Y(t)}.
Начальным моментом порядка К случайного процесса {X(t)} называется такая функция времени, которая в каждый момент времени t, равна математическому ожиданию К-й степени самого сигнала:
ад
ak (t) = M[Xk (t)] = f Xk (t)f (x, t)dx . (1.70)
—ад
Для определения любого момента ак достаточно знать одномерную функцию плотности распределения вероятностей:
ад
a (t) = M[X(t)] = f X(t)f (x, t)dx . (1.71)
—ад
Это и есть математическое ожидание (или среднее значение) процесса. Как уже говорилось выше, практически любой (и особенно стационарный по математическому ожиданию) процесс можно представить себе как аддитивную смесь постоянной (или медленно изменяющейся по среднему значению) мультипликативной составляющей.
Моменты, определяемые для центрированного сигнала, носят название центральных.
Центральный момент s-го порядка - это такая функция времени, которая в каждый момент времени равна математическому ожиданию s-ой степени составляющего центрированного сигнала:
0 * 0 *
jUs(t) = M[X (t)] = f x (t)f (x, t)dx . (1.72)
—ад
Моменты 0-го и 1-го порядка неинформативны, так как
A)(t) = 1; M(t) = 0.
Основное применение получил второй центральный момент:
2
X (t)
Dx (t).
(1.73)
JU2(1 ) = M
Это - дисперсия сигнала, которая характеризует степень разбросанности отдельных реализаций относительно математического ожидания.
Ту же информацию о процессе {X(t)} дает и среднеквадратическое отклонение, численно равное квадратному корню из дисперсии и имеющее размерность самого сигнала.
Для описания случайных процессов используют также смешанные моменты.
Смешанным начальным моментом порядка (k+s) случайного сигнала {X(t)} называется такая функция двух временных аргументов t1 и t2, которая при фиксированных значениях этих аргументов численно равна математическому ожиданию произведения k-й и s-й степеней соответствующих сечений сигнала:
(1.74)
dk * (t1,12) = м [Xk (О X* (t 2)]
Центральный смешанный момент порядка (k+s) определяется выражением вида:
*
k
(1.75)
X (Ox (t2)
Mk* (t1,12) = M
Для приближенного описания свойств случайного процесса наиболее широкое применение получил центральный смешанный момент порядка (1+1):
(1.76)
Mift, 12) = M
= Rx (t1,12)
X(t\) ^(t 2)
- математическое ожидание произведения двух сечений центрированного сигнала. Это уже упоминавшаяся автокорреляционная функция сигнала {X(t)} (авто - т.е. характеризуется корреляция, или взаимосвязь двух сечений одного и того же процесса).
1. Таким образом, для приближенного описания свойств сигнала используют математическое ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию.
Выясним, о каких свойствах сигнала несет информацию АКФ, а для этого рассмотрим ее собственные свойства.
АКФ обладает свойством симметричности относительно своих аргументов, то есть не изменяет своего значения при перемене временных аргументов местами:
(1.77)
Rx (t1,12) = Rx (t 2,0.
2. По величине АКФ не может превышать произведения среднеквадратических отклонений соответствующих сечений:
(1.78)
Rx (t1,12) 3. При совпадении временных аргументов АКФ превращается в дисперсию:
0
X 2(t)
(1.79)
= Dx (t).
Rx (t, t) = M
То есть набор характеристик, необходимых для приближенного описания случайного сигнала, может быть сокращен до двух: mx и Rx(t). Вернемся ко второму свойству АКФ и положим t]=t2=t:
(1.80)
Rx(t, t) < S2X (t), то есть Rx(t, t) < Dx(t).
Наибольшее значение АКФ имеет при равных временных аргументах, и это наибольшее значение равно дисперсии сигнала.
На практике часто используют нормированную автокорреляционную функцию, под которой понимают функцию вида:
_ M X(t1) X(t2)
(1.81)
Px 12 ) =
Rx (t1> 12 ) = L :
^x (t2 ) ^x (O^x (t2 )
Нормированная АКФ - величина безразмерная. По определению нормированная АКФ - это коэффициент корреляции между двумя сечениями случайного процесса.
Рассмотрим, как будут трансформироваться свойства АКФ при переходе к нормированной функции:
px (^12) = Px (t 2,O;
px (t1,12) < 1;
при равенстве временных аргументтов:
t1 = 12 = t, px (t, t) = 1.
Выясним, как будет вести себя ^x(t1,t2) при изменении интервала времени между сечениями t1 - t2 = т от нуля до бесконечности.

Рисунок 17 - Реализация случайного процесса (к вопросу о поведении нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между сечениями)


Рисунок 17 - Реализация случайного процесса (к вопросу о поведении нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между сечениями)


Таким образом, выясняется четвертое свойство АКФ:
(1.82)
lim Rx (t1,12) = 0
1 12
Если рассматривать АКФ как функцию интервала времени между сечениями, то эта функция, при стремящемся к бесконечности аргументе, будет стремиться к нулю:
(1.83)
lim Px (t1,12 ) = 0 :
то есть взаимосвязь между сечениями будет ослабевать и даже теряться (в соответствии с рисунком 17).
<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме 1.2.5 Приближенное описание случайных процессов:

  1. Глава 2.Случайные процессы и квантовая теория поля
  2. 2.2 Случайные процессы и СДУ
  3. Глава З.Многомасштабные случайные процессы
  4. 1.2.3 Математическое описание случайных процессов Классификация случайных процессов
  5. Стационарные случайные процессы
  6. Эргодические случайные процессы
  7. Нестационарные случайные процессы
  8. 1.2.4 Исчерпывающее описание случайных процессов
  9. 1.2.5 Приближенное описание случайных процессов
  10. Приближенное описание АКФ