Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

1.2.4 Исчерпывающее описание случайных процессов

Рассмотрим вновь случайный процесс, реализации которого изображены на рисунке 16. Зафиксируем значение временного аргумента. При фиксированном аргументе случайный процесс превращается в случайную величину и носит название сечения случайного процесса.
Для приближенного описания случайного процесса зададим его в равноотстоящие (через интервал) момента времени, то есть получим сечения ti, t2, t3 и т. д. Устремим At к нулю, число сечений N при этом устремляется к бесконечности.
Сигнал (процесс) превращается в систему бесконечного числа случайных величин {X(t1), X(t2), ....,X(tN)}.
Исчерпывающей характеристикой системы случайных величин является совместный закон распределения, заданный в той или иной форме, например, в дифференциальной: fN{X(t1), X(t2), ...,X(tN)}. Таким образом, для случайного процесса исчерпывающей характеристикой является бесконечномерная плотность распределения сечений. Для удобства в дальнейшем станем записывать ее в следующей форме: fN (x1, t1, x2, t2, .., xN,
tN....).
И теперь вернемся к определению стационарности или не стационарности сигнала и зададим его несколько строже, нежели это было выполнено ранее.
В зависимости от поведения плотности распределения при прибавлении к каждому временному аргументу одной и той же величины, различают нестационарные процессы, слабо стационарные и стационарные в узком смысле.
Если при прибавлении к каждому временному аргументу одной и величины бесконечномерная плотность вероятности не изменяется, то сигнал (процесс) называется стационарным в узком смысле (см. определение выше), а в противном случае процесс таковым не является (т.е. это - либо процесс, стационарный лишь в широком смысле, либо вовсе нестационарный процесс).
То есть условие стационарности (в узком смысле) может быть записано следующим образом:
f(x^ t+и; Х2, t2 + xm, tm + u;...) = f(x^ 4; ^ xm, *m;...). (1.62)
Выберем t1+u=0, тогда u= - t1: выражение для плотности приобретает
вид:
f (x1,0; x2,12 — ^1;..., xm , ^m v") .
Для двумерной плотности распределения соблюдается соотношение
/2(x1,°; x2, t2 - t1) = f2(x1, t{; x2,12 ) . (1.63)
То есть плотность вероятности зависит не от времени, а от временного сдвига между сечениями, а одномерная плотность распределения вообще не зависит от какого - либо временного аргумента:
/1( x1, О = /i( x1,0). (1.64)
Вместо плотностей вероятностей для описания случайных процессов можно использовать и характеристические функции, представляющие собой преобразования Фурье от соответствующих плотностей распределения. Так, например, N-мерная характеристическая функция определяется соотношением:
ад ад ад
Рп (u1, u 2 v"' UN ; ^ 12,'"t N ) = Ц-\QXP(j(u\x1
'n" 1 ' "2 vj 4 > '2 v ln > j j ¦¦¦ j ^FVJ x1 + U 2 x2 + ••• + unxn
—ад—ад —ад
* / (x1, t1;...; XN , tN = M[expC/u1 x1 + ju 2 x2 +... + j^N )]. (1.65)
Отметим, что для независимых случайных величин характеристическая функция системы равна произведению характеристических функций величин, составляющих систему.
Иногда вместо плотностей вероятностей используют интегральные законы распределения - функции распределения. Одномерная функция
распределения определяет относительную долю значений xi(t),I=1,2,3, ,
которые меньше некоторой величины Xi:
x1
F1(x1, t1) = J/(u, t1 )du . (1.66)
—ад
Очевидно, что для значений X1, в которых функция F(X1, t1) дифференцируема, справедливо равенство
/(x^t) = . (1.67)
dx1
Двумерная функция распределения определяется соотношением
F2 (x1. x2 , 12 ) = JJf t1, u 2 , 12)du1du 2 , (1-68)
—ад—ад
откуда следует, что
Л^, t1, x2, t2) , (1.69)
GX\OX2
где функция F2, приведенная в выражении, есть двумерная функция распределения.
<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме 1.2.4 Исчерпывающее описание случайных процессов:

  1. Глава 2.Случайные процессы и квантовая теория поля
  2. 2.2 Случайные процессы и СДУ
  3. Глава З.Многомасштабные случайные процессы
  4. 1.2.3 Математическое описание случайных процессов Классификация случайных процессов
  5. Стационарные случайные процессы
  6. Эргодические случайные процессы
  7. Нестационарные случайные процессы
  8. 1.2.4 Исчерпывающее описание случайных процессов
  9. 1.2.5 Приближенное описание случайных процессов
  10. 1.2.6 Обобщенные модели случайных процессов (по Пугачеву)
  11. Нормализация стационарных случайных процессов линейными динамическими системами
  12. 2.4.2 Методы представления случайных компонент составляющих объекта измерения
  13. 3. Алгометрический метод описания трудового процесса.
  14. Глава 2Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов
  15. 2.4. Моделирование работы подвижного состава с использованием марковских случайных процессов
  16. Теория массового обслуживания. Случайные процессы.
  17. Глава 1. Основания теории случайных процессов.
  18. Глава 3. Элементы общей теории случайных процессов. Точечные случайные процессы.
  19. §6 Точечные случайные процессы. Формула Ито для считающих процессов. Компенсаторы.
  20. §7 Интегрирование случайных процессов по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию.