1.2.4 Исчерпывающее описание случайных процессов

Сигнал (процесс) превращается в систему бесконечного числа случайных величин {X(t1), X(t2), ....,X(tN)}.

Исчерпывающей характеристикой системы случайных величин является совместный закон распределения, заданный в той или иной форме, например, в дифференциальной: fN{X(t1), X(t2), ...,X(tN)}. Таким образом, для случайного процесса исчерпывающей характеристикой является бесконечномерная плотность распределения сечений. Для удобства в дальнейшем станем записывать ее в следующей форме: fN (x1, t1, x2, t2, .., xN,

tN....).

И теперь вернемся к определению стационарности или не стационарности сигнала и зададим его несколько строже, нежели это было выполнено ранее.

В зависимости от поведения плотности распределения при прибавлении к каждому временному аргументу одной и той же величины, различают нестационарные процессы, слабо стационарные и стационарные в узком смысле.

Если при прибавлении к каждому временному аргументу одной и величины бесконечномерная плотность вероятности не изменяется, то сигнал (процесс) называется стационарным в узком смысле (см. определение выше), а в противном случае процесс таковым не является (т.е. это - либо процесс, стационарный лишь в широком смысле, либо вовсе нестационарный процесс).

То есть условие стационарности (в узком смысле) может быть записано следующим образом:

f(x^ t+и; Х2, t2 + xm, tm + u;...) = f(x^ 4; ^ xm, *m;...). (1.62)

Выберем t1+u=0, тогда u= - t1: выражение для плотности приобретает

вид:

f (x1,0; x2,12 — ^1;..., xm , ^m v") .

Для двумерной плотности распределения соблюдается соотношение

/2(x1,°; x2, t2 - t1) = f2(x1, t{; x2,12 ) . (1.63)

То есть плотность вероятности зависит не от времени, а от временного сдвига между сечениями, а одномерная плотность распределения вообще не зависит от какого - либо временного аргумента:

/1( x1, О = /i( x1,0). (1.64)

Вместо плотностей вероятностей для описания случайных процессов можно использовать и характеристические функции, представляющие собой преобразования Фурье от соответствующих плотностей распределения. Так, например, N-мерная характеристическая функция определяется соотношением:

ад ад ад

Рп (u1, u 2 v"' UN ; ^ 12,'"t N ) = Ц-\QXP(j(u\x1

'n" 1 ' "2 vj 4 > '2 v ln > j j ¦¦¦ j ^FVJ x1 + U 2 x2 + ••• + unxn

—ад—ад —ад

* / (x1, t1;...; XN , tN = M[expC/u1 x1 + ju 2 x2 +...

Отметим, что для независимых случайных величин характеристическая функция системы равна произведению характеристических функций величин, составляющих систему.

Иногда вместо плотностей вероятностей используют интегральные законы распределения - функции распределения. Одномерная функция

распределения определяет относительную долю значений xi(t),I=1,2,3, ,

которые меньше некоторой величины Xi:

x1

F1(x1, t1) = J/(u, t1 )du . (1.66)

—ад

Очевидно, что для значений X1, в которых функция F(X1, t1) дифференцируема, справедливо равенство

/(x^t) = . (1.67)

dx1

Двумерная функция распределения определяется соотношением

F2 (x1. x2 , 12 ) = JJf t1, u 2 , 12)du1du 2 , (1-68)

—ад—ад

откуда следует, что

Л^, t1, x2, t2) , (1.69)

GX\OX2

где функция F2, приведенная в выражении, есть двумерная функция распределения.