2.4. Моделирование работы подвижного состава с использованием марковских случайных процессов

На стадии прогнозирования (планирования) работы автомобиля целесообразно рассматривать следующие состояния, в которых подвижной состав может находиться в процессе эксплуатации и которые характеризуются целодневными простоями:

исправен, работает;

S{ — находится на капитальном ремонте (КР);

— проходит ТО-2;

— находится в текущем ремонте (TP);

— исправен, не работает по организационным причинам (без водителя, шин, запасных частей);

— не работает, снятие агрегата для отправки на капитальный ремонт;

не работает, списание агрегата, замена на новый;

S7 — исправен, не работает (выходные и праздничные дни);

*Sg — списывается.

Надо отметить, что в настоящее время вышеперечисленные состояния автомобиля планируются при разработке годовой программы работы автотранспортного предприятия (АТП), при этом состояния S5, объединяются в одно состояние «находится в ТР».

Для анализа процесса эксплуатации автомобиля как случайного процесса с дискретными состояниями удобно воспользоваться геометрической схемой, так называемым графом состояний (рис.

На рис. 2.12 через Ху и цу7 обозначены плотности вероятностей перехода автомобиля из состояния Sf в состояние Sj. Напри-

мер, Х03 — плотность вероятности перехода автомобиля из состояния «исправен, работает» в состояние «находится в текущем ремонте».

Можно считать, что события, переводящие автомобиль из состояния в состояние, представляют собой потоки событий (например, потоки отказов). Если все потоки событий, переводящие систему (автомобиль) из состояния в состояние, пуассоновские (ста-ционарные или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет марковским, а плотности вероятности перехода в непрерывной цепи Маркова представляют собой интенсивности потока событий, переводящего систему ИЗ СОСТОЯНИЯ дУ/ в состояние Sj.

Рассматриваемые состояния автомобиля Sj характеризуются средним числом дней пребывания автомобиля в каждом состоянии Ду Показатели Д) находят отражение в статистической отчетности автотранспортного предприятия. Отношение

р'-Ь <128)

где Дк — число календарных дней в году.

Дк можно трактовать как вероятность нахождения автомобиля в у-м состоянии.

Вероятности состояний автомобиля Р0, Рь Р2, Рр Рп как функции пробега в случае марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем удовлетворяют определенного вида дифференциальным уравнениям (уравнениям Колмогорова), записываемым в виде dP0(L) І=1 1=1 dL dPj(L) dL '^Щ-Р^Щ-щ^ЩРІЩ (2.29) dP„(L) _ dL ?cX0n(L)P0(L), вероятность нахождения автомобиля в /-м состоянии, / = 0, п\ интенсивность перехода автомобиля из нулевого в /-е состояние, і — 1, п;

интенсивность перехода из /-го в нулевое состояние, / = 1, п- 1;

коэффициент, отражающий связь между наработками в днях и километрах пробега (среднесуточный пробег, тыс. км).

где Pt{L) - X0i(D -

Число уравнений в системе (2.29) зависит от числа состояний автомобиля. Вероятность нахождения автомобиля в состоянии «ис- правен-работает» Pq(L) представляет собой коэффициент выпуска ae(L), а сумма вероятностей Pq(L) + Р4Щ + Pj(L) = kTr(L) - коэффициент технической готовности автомобиля.

Поскольку большинство интенсивностей перехода зависят от пробега, то решение системы (2.29) производится с помощью методов численного интегрирования, например метода Рунге-Кутта.

Необходимо учесть, что для расчета производственной программы АТП требуется зачастую определять показатели работы группы автомобилей определенной модели у-го возраста (коэффициент выпуска и годовой пробег автомобиля у-й возрастной группы).

Для описания процесса функционирования группы автомобилей может быть использован метод динамики средних.

Схема, изображающая процесс работы условного автомобиля определенной модели, аналогична схеме рис. 2.12, лишь с той разницей, что через Ху и обозначены средние интенсивности пото-

КОВ событий, переводящих автомобиль ИЗ СОСТОЯНИЯ Sj в состояние Sp и наоборот. При этом каждое состояние характеризуется средней численностью автомобилей Np), находящихся в нем в момент времени t. Очевидно, что для любого t сумма численностей всех состо-яний равна общей численности автомобилей исследуемой группы:

N=imt).

j=о

Величина Np) для любого t представляет собой случайную величину, а при меняющемся t — случайную функцию времени.

Зная граф состояний (рис. 2.12) и соответствующие интенсивности перехода Ху и jib/, определим средние численности автомобилей N0(L), N\(L), N2(L), ... , N$(L) как функции пробега L.

Согласно графу состояний (рис. 2.12) система дифференциальных уравнений для средних численностей состояний запишется следующим образом:

aL

+ Х06(?) + X07(L) + X0S(L)] + ц10(L) ¦ Ni(L) + \i20(L) ¦ N2(L) + + Мзо(І) • N3(L) + Ц40(L) ¦ N4(L) + ii50(L) N5(L) + n60(L) ¦ N6(L) +

+ \i10(L) ¦

dN\(L)

dN2(L) dL

aL

с-^оШ-^огШ-йгоШ-^гШ;

= (2.30)

dN4(L) dL

¦N0(L)-\04(L)-n4Q(L)-N4(Ly,

= te ¦ N0(L)-X05(L)-used) - N5(L);

dN6(L)

dL dN-j(L)

dL dN8(L)_ dL

¦ N0(L)-X06(L)-ii60(L)-N6(Ly,

¦NoW-Xo-tiD-inoW-N^L)-, ¦N0(L)-X0S(L).

Отношение ЩЩ/N равно коэффициенту выпуска автомобилей определенной модели на пробеге L с начала их эксплуатации, а отношение [N0(L) + NA(L) + N7(L)]/N — коэффициенту технической готовности автомобилей.

Докажем, что формулы для определения коэффициентов технической готовности (ктг), выпуска подвижного состава (ав) являются частным случаем, соответствующим стационарному решению системы уравнений (2.30), описывающей функционирование автопарка.

Для расчета средней численности автомобилей, находящихся в исправном состоянии, можно предварительно объединить состояния Si, S5, S6 в одно состояние: «исправен» — S{.

Система дифференциальных уравнений для средних численностей подвижного состава запишется следующим образом:

= -ji31(Є)-N3(t) + tc.N{ (I)• Xl3(i) = -|i4i W' NA(i) + tc • N[ {?) .\ы(?).

Положим левые части уравнений равными нулю, получим систему алгебраических уравнений для средних численностей состояний автопарка, работающего в стационарном режиме:

0 = -/С(Х12 +А13 +Л14)ЛГ1/ +\I2\N2

0 = -li2\N2+tcXl2N{ (2 32)

Решим систему алгебраических уравнений с учетом так называемого нормировочного условия:

N0 = Nx + N2 + N3 + N4i (2.33)

где N0 - среднесписочная численность автопарка, шт.

Для примера из системы (2.32) определим неизвестные средние численности состояний, используя Так, из второго и третьего уравнений имеем

1*21

Мзі

Согласно нормировочному условию

N4 = N0- N{ -N2- N3.

Тогда

N;+N;echi.+N;echi L И21 ИЗij

N, .

=NoJl+? kL+? hi ' Й21 И31J

Подставляя в первое уравнение (2.32), получим:

0 = -ес(Х12 + Х13 + Х14Щ' + есХ nN{ + ?CXUN{ +

Nn -

ЛГ,

1 + /,

+ef

Л13 >31.

N,

М-21

л13 М-31

Разделим полученное уравнение на ц41:

і+еМ+>

ЛГ, =0.

43

+ Nq -

Й41

И21 М'ЗІ,

Последнее уравнение можно записать следующим образом:

д12 >21

43

N0 =

Ni.

1 + ?,

44

М-31 Й41

Тогда коэффициент технической готовности равен:

(2.37)

N{ 1

Ктг=>0

1 + J

^21 ^31 ^41

где Х12, Х14 — интенсивности перехода автомобиля в состояния «тех-ническое обслуживание», «текущий ремонт», «капитальный ремонт» соответственно, отк/тыс. км;

(І2і, Изіj М-41 — интенсивности восстановления, равные обратным средним величинам продолжительности соответствующих ремонтных воздействий технического обслуживания (ТО-2), текущего ремонта (TP), капитального ремонта (КР), отк/день.

Отношение

отк

день тыс.

ij тыс. км

V-Ji ~

отк

день

Таким образом, = — удельная величина, характеризую-чу/ 7

щая количество дней в у-м состоянии (ТО-2, TP, КР) на 1 тыс. км пробега. Тогда формулу (2.37) можно записать в виде:

1

(2.38)

1

Очевидно, формула (2.38) есть частный случай, соответствующий стационарному режиму работы автомобиля, который является решением системы алгебраических уравнений.

Рассмотрим все потоки событий, переводящие условный автомобиль из состояния в состояние. Характер потока отказов автомобиля, переводящего условный автомобиль из состояния «исправен, работает» в состояние «находится в текущем ремонте», не изменяется. При определении его величины учитывается возрастная структура автомобилей данной модели.

Наработка до первого капитального ремонта автомобиля под-чиняется нормальному закону распределения с коэффициентом ва-риации 0,1-0,33. Вместе с тем следует отметить значительное абсо-лютное рассеивание пробегов до первого капитального ремонта ав-томобиля в исследуемых группах подвижного состава. Размах меж-ду минимальным и максимальным пробегами может составить пробег, примерно равный среднему пробегу до первого капиталь-ного ремонта этих автомобилей.

Таким образом, поток событий, который переводит автомобиль в состояние «капитальный ремонт», протекает на значительном интервале пробега. В этом потоке интенсивность A01(L) (среднее число событий в единицу пробега) зависит от пробега, т. е. поток является нестационарным.

Очевидно, на малом интервале пробега автомобиля (1-2 тыс. км) интенсивность A01(L) меняется сравнительно медленно. В этом случае закон распределения наработки до капитального ремонта можно приближенно считать показательным, а интенсивность A01 принимать равной среднему значению A01(L) на этом интервале. Аналогичные утверждения справедливы относительно потоков отказов, переводящих условный автомобиль в состояния «капитальный ремонт агрегата» и «списание агрегата».

Общий поток отказов, связанный с попаданием автомобилей исследуемой группы в ТО-2, получается путем наложения (суперпозиции) потоков «ТО-2» этих автомобилей.

Образ потока отказов, связанного со списанием автомобиля, является условным. Действительно, если автомобиль отказывает в тот момент, когда происходит первое событие данного потока, то совершенно все равно, продолжается после этого поток отказов или прекращается: судьба автомобиля от этого уже не зависит. В случае когда элемент (автомобиль) не подлежит восстановлению, поток отказов является пуассоновским.

Поток отказов автомобиля, связанный со списанием, является нестационарным, так как пробег до списания подвижного состава подчиняется закону распределения, отличному от показательного. Очевидно, на малом интервале пробега автомобиля (1—2 тыс. км) интенсивность отказов меняется сравнительно медленно, в таком случае закон распределения событий можно приблизительно считать показательным, и для описания процесса эксплуатации автомобиля использовать марковскую схему.

Характер остальных потоков событий, связанных с процессом работы группы автомобилей, не изменяется.

Таким образом, все средние потоки, переводящие условный автомобиль из состояния в состояние, либо пуассоновские, либо сводятся к ним путем рассмотрения процесса эксплуатации на малых интервалах пробега (1—2 тыс. км) и корректировки исходного потока отказов деталей для исключения последействия. Это позволяет использовать метод динамики средних для описания процесса эксплуатации группы автомобилей.

В табл. 2.1 приведены формулы для расчета интенсивностей перехода \jj И \ijj.

Таблица 2.1

Интенсивности перехода и для расчета комплексных показателей надежности автомобилей МАЗ Интенсивность Формула, принятая в расчете Примечание Исправен — капитальный ремонт к к-\ Плотность распределе-ния наработки до к-то капитального ремонта автомобиля — (p*(L) Исправен — проходит техническое обслуживание (ТО-2) а02ш=хло іш і=\

X02(L) = (Гто)_1 fJQi — плотность распре-деления наработки до hro ТО-2;

Ljq - средняя периодичность ТО-2 Исправен — находится в текущем ремонте ХозШ» ?©/(1) ay(Z,) - параметр потока отказов / детали по интервалам пробега L\ F — число ДЛН автомо-биля, шт. Исправен — простаивает по орга-низационным причи-нам (без водителя и т. п.) ХО4(І) = р(І)

мі) = азгпрГ1 Тпр — среднее время между простоями; /с — среднесуточный пробег, тыс. км;

Интенсивность Формула, принятая в расчете Примечание Исправен — капитальный ремонт агрегата а05(?)=1Ш!ГгШ

П—\ со*р аг — параметр потока отказов автомобиля, связанных с капитальным ремонтом его агрегатов Исправен — списание агрегата Х06(1)=1(осппаг

П—1 С0пП ar(L) - параметр по-тока отказов автомоби-ля, связанных со списа-нием агрегатов; N — число агрегатов Исправен — не работает (праздничные и вы-ходные дни) X01(L) = р Щ 7^(L) = (1с . Тъых)~1 Гвых — среднее время между простоями Исправен — списание автомобиля XosW = = fc(L)/[ 1 - FC(L)] \0z(L) = (L- L0)/a2 L > 270 тыс. км Fc(L),fc(L) - функция и плотность распределения наработки до списания автомобиля; принято распределение Рэ- лея с параметрами а2 = 402 тыс. км; L0 = 270 тыс. км Капитальный ремонт — исправен Hio = (ГкрҐ Ткр — средняя продол-жительность капиталь-ного ремонта ТО-2 — исправен H20 = (ТтоҐ Тто — средняя продол-жительность ТО-2 Находится в текущем ремонте — исправен IX30(L) = Г}(?) цзо (L) = (Гт)~ Тт — средняя продолжи-тельность текущего ре-монта Простаивает по орга-низационным причинам — исправен И40 = (Тп Г1 Тп — средняя продолжи-тельность простоя Капитальный ремонт агрегата — исправен \xS0(L) = (Г?Г1 Ткр — средняя продол-жительность простоя при снятии агрегата

Интенсивность Формула, принятая в расчете Примечание Списание агрегата — исправен Ц60(?) = (ТРСҐ ГрС - среднее время за-мены агрегата Исправен, не работает (праздничные и вы-ходные дни) — испра-вен, работает ц70(1) = (Гп р)"1 Тпр — средняя продол-жительность простоя 1.3.

Значения параметров модели (2.30) X03(L), X05(L), X06(L) могут быть определены двумя способами. Согласно первому способу полученные значения параметров потока отказов автомобиля, связанных с его текущим ремонтом, капитальным ремонтом и списанием его агрегатов, аппроксимируются экспоненциальными зависимостями следующего вида:

X0i(L) = ехр(я0 + ах . х + ... + ап . У1),

где х — пробег автомобиля с начала эксплуатации, тыс. км;

/ — номер состояния, в котором находится автомобиль, / = 3,5,6.

Ошибка аппроксимации при небольших п бывает высокой и может достигать 10—20%. Это один из главных недостатков первого способа, существенно снижающий точность последующих расчетов годового пробега. Указанный недостаток можно исключить.

Согласно второму способу параметры А03, Х05, Х06 задаются дис-кретно для каждого интервала пробега и являются постоянными величинами на каждом заданном интервале пробега, составляющем 10—20 тыс. км, но значения этих параметров меняются в течение пробега с начала эксплуатации автомобиля скачкообразно от одного интервала к другому.

Метод динамики средних может быть использован и для определения коэффициента выпуска автопарка, состоящего из автомобилей разных моделей.

Указанная задача может быть решена двумя способами. Первый способ состоит в рассмотрении изолированного процесса эксплуатации совокупности автомобилей одной модели.

Второй способ предполагает рассмотрение процесса функционирования моделей автомобилей многомарочного парка в целом. В этом случае без принципиальных изменений может быть использован изложенный выше способ, разница будет только в том, что

число дифференциальных уравнений увеличится в п раз, где п — число моделей подвижного состава, обслуживаемых на одних и тех же постах ТО и ТР. Использование метода динамики средних для определения коэффициентов технической готовности и выпуска автомобилей моделей разномарочного парка позволяет учесть ограниченное количество постов для проведения ТО и ТР.

При определении коэффициентов технической готовности и выпуска автомобилей разномарочного парка необходимо разбить все модели подвижного состава, эксплуатирующегося в АТП, на группы, включающие автомобили тех моделей, которые обслуживаются на одних и тех же постах ТО-2 и ТР. Для каждой группы моделей подвижного состава строится единая система дифференциальных уравнений, описывающая функционирование соответствующей группы автомобилей1.