<<
>>

Моделирование случайных величин.

Для моделирования случай-ной величины необходимо знать ее закон распределения. Наиболее общим способом получения последовательности случайных чисел, распределенных по произвольному закону, является способ, в ос-нове которого лежит их формирование из исходной последовательности случайных чисел, распределенных в интервале [0,1] по рав-номерному закону.

Равномерно распределенные в интервале [0,1] последовательности случайных чисел можно получить тремя способами:

использованием таблиц случайных чисел;

применением генераторов случайных чисел;

методом псевдослучайных чисел.

Pi

0 1 2 3 ...

9 0,1 0,1 0,1 0,1 ... 0,1.

При составлении таких таблиц выполняется требование, чтобы каждая из этих цифр от 0; 1;...; 9 встречалась примерно одинаково часто и независимо от других с вероятностью Pi = 0,1.

Самая большая из опубликованных таблиц случайных чисел содержит 1 000 000 цифр. Таблицы случайных чисел составить не так просто. Они требуют тщательной проверки с помощью специ-альных статистических тестов.

При решении задач на ЭВМ для выработки случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1], могут применяться генераторы случайных чисел. Данные генераторы преобразуют результаты случайного физического процесса в двоичные числа. В качестве случайного физического процесса обычно используют собственные шумы (случайным образом меняющееся напряжение).

При решении задачи без применения ЭВМ чаще всего используют таблицы случайных чисел. В таблицах случайных чисел слу-чайные цифры имитируют значения дискретной случайной величины с равномерным распределением:

Недостатки данного способа получения случайных чисел следую-щие:

трудно проверить качество вырабатываемых чисел;

случайные числа не воспроизводимы (если их не запоми-нать), и, как следствие, нельзя повторить расчет на ЭВМ для ис-ключения случайного сбоя.

Получение псевдослучайных чисел с равномерным законом рас-пределения заключается в выработке псевдослучайных чисел.

Псев-дослучайные числа - это числа, полученные по какой-либо форму-ле и имитирующие значения случайной величины. Под словом «имитирующие» подразумевается, что эти числа удовлетворяют ряду тестов так, как если бы они были значениями этой случайной величины.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел предложил Дж. Нейман. Это так называемый метод середины квадратов, который заключается в следующем:

Yo = 0,9876, уо2 = 0,97535376, Yi = 0,5353, Yi2 = 0,28654609, Y2 = 0,6546 и т. д.

Алгоритм себя не оправдал: получилось больше, чем нужно, малых значений у{ — случайных чисел. В настоящее время разработано множество алгоритмов для получения псевдослучайных чисел.

Назовем достоинства метода псевдослучайных чисел.

На получение каждого случайного числа затрачивается не-сколько простых операций, так что скорость генерирования слу-чайных чисел имеет тот же порядок, что и скорость работы ЭВМ.

Малый объем памяти ЭВМ для программирования.

Любое из чисел легко воспроизвести.

Качество генерируемых случайных чисел достаточно проверить один раз.

Подавляющее число расчетов по методу Монте-Карло осуще-ствляется с использованием псевдослучайных чисел. От последова-тельности случайных чисел, равномерно распределенных в интер-вале [0,1], нетрудно перейти к последовательности случайных чисел с произвольно заданным законом распределения.

Существует основное соотношение, связывающее случайные числа с заданным законом распределения и случайные числа с рав-номерным законом распределения в интервале [0,1]. Суть его состоит в том, что для преобразования последовательности случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] в последовательность случайных чисел с заданной функцией рас- пределения F(x) необходимо из совокупности случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] выбрать случайное число ? и решить уравнение:

F(x) = % (4.5)

относительно X.

Решение уравнения представляет собой случайное число из со-вокупности случайных чисел, имеющих функцию распределения F(x).

В случае когда вместо функции распределения F(x) задана плот-ность вероятности fix), соотношение (4.5) принимает вид:

//(*)& = §. (4.6)

—оо

Для ряда законов распределения, наиболее часто встречающихся в реальной экономике, получено аналитическое решение уравнения (4.6), результаты которого приведены в табл.

4.1.

Таблица 4.1

Формулы для моделирования случайных величин Закон распределения случайной величины Плотность распределения Формула для моделирования случайной величины Экспоненциальный Ах) = Вейбула / \fl-l /V ч Х\

Дх) = Т - ехр Ь а

\ J /

J х х,. = -Ъ (In У1/0 Гамма-распределение (rj — целые числа) ЛУ=1 Нормальное (Х-Х)2

/(*) = —7-е 2°2 ал/2я Г" 1

х,=х+о

J

Параметры закона распределения Вейбула выбираются по таблицам приложения.

Пример 4.1. В результате статистической обработки экспери-ментальных данных получены следующие значения характеристик случайной величины X: х = 40,7 и а = 30,2. Установлено, что вели-чина X распределена в соответствии с законом Вейбула.

Определите параметры данного закона.

Решение

Вычислим коэффициент вариации случайной величины X:

^^,30,2,0,742.

А х 40,7

Исходя из значения коэффициента вариации, определим по таблицам приложения параметры а и Са. Величины параметров при К= 0,742 равны а = 1,4; Са = 0,659.

Вычислим параметр b по формуле:

* ° 30^ = 45,8. (4-7>

Са 0,659

Параметры гамма-распределения вычислим по следующим формулам:

(4.8)

о

(х)2

4=— (4.9)

СГ

Пример 4.2. Время обслуживания пассажира в кассе Аэро-флота подчинено гамма-распределеншо. При этом известно среднее значение времени обслуживания / = 42 мин.; среднее квадра-тическое отклонение времени равно 14,8 мин.

Вычислите параметры закона распределения.

Решение

1. Вычислим параметр X:

х 42 Х = 4 = = 191746.

а2 (14,8)2

2. Величину параметра у\ определим по следующей формуле:

= = = 8,74826-9. а2 14,82

Пример 4.3. Для ПК интенсивность потока отказов X = 1,2 отк/сутки.

Определите последовательность значений продолжительности интервалов между отказами ПК. Известно, что эти интервалы опи-сываются показательным законом распределения.

Решение

Определим продолжительность интервала между отказами th используя формулу для моделирования случайной величины, рас-пределенной в соответствии с экспоненциальным законом:

Значения Ец определим по таблицам случайных чисел.

Допустим \х = 0,7182; ^ = 0,4365; = 0,1548; ^ = 0,8731.

Тогда

t\ = —prln0,7182 = 6,6 суток;

t2 = ---гIn0,4365 = 16,6 суток;

/3 = —ргIn 0,1548 = 37,3 суток;

/4 = —ргIn 0,8731 = 2,7 суток и т.

д.

Моделирование случайных событий. Моделирование случайного события заключается в воспроизведении факта появления или непоявления случайного события в соответствии с заданной его вероятностью. Моделирование полной группы несовместных событий Аь А2, Ап, вероятности которых P(AD = Р,; / = 1, п из-вестны, можно свести к моделированию дискретной случайной величины У, имеющей закон распределения

Р(УІ) = Рь

где вероятности ее возможных значений

Р(УІ) = Р(Аі) = Р,

Очевидно, что принятие в испытании дискретной случайной величиной У возможного значения yt равносильно появлению в ис-пытании события Aj. При практической реализации данного способа на единичном отрезке числовой оси откладывают интервалы А/ = Pi (рис. 4.1).

Ai Л2 А3 • • • • Ап

I 1 1 1 ЬЬ 1 Ь

0 1

Рис. 4.1. Интервалы Д,- = Р,

Вырабатывают равномерно распределенное на интервале [0,1] случайное число ^ и проверяют условие

1Рі<^<ІРг (4.10)

/=1 /=1

При выполнении условия (4.10) считают, что при испытании наступило событие Ак.

Нетрудно заметить, что моделирование факта появления одного события А, имеющего вероятность Р(А), сводится к моделирова-нию полной группы двух несовместных событий, т. е. противопо-ложных событий с вероятностями Р(А) и Р(А) = 1 — Р(А).

Пример 4.4. Вероятность появления события А в каждом ис-пытании Р(А) = 0,75.

Смоделируйте три испытания и определите последовательность реализации события А.

Решение

Отложим на единичном отрезке числовой оси точку Е = 0,75 и будем считать, что если случайное число ^ < Е, то в испытании наступило событие А. В противном случае при ^ > Е наступило событие А у т. е. событие А не имело места.

Пусть из таблицы выбраны равномерно распределенные на ин-тервале [0,1] случайные числа ^ = 0,925; = 0,135; = 0,088. Тогда при трех испытаниях получим следующую последовательность реализации событий: А ; А; А.

Моделирование совместных (зависимых и независимых) событий можно выполнить двумя способами.

Первый способ.

На первом этапе моделирования определяют все возможные исходы появления совместных событий в испытании (находят полную группу несовместных событий и вычисляют их вероятности). На последующем этапе работ поступают так же, как и при моделировании полной группы несовместных со-бытий.

Пример 4.5. Пусть при испытании могут иметь место зависимые и совместные события А и В, при этом известно, что Р(А) = 0,7; Р(В) = 0,5; Р(АВ) = 0,3.

Смоделируйте появление событий А и В в двух испытаниях.

Решение

При каждом испытании возможны четыре несовместных исхода, т. е. наступление четырех событий:

Cj = АВ, при этом по условию Р(СХ) = Р(АВ) = 0,3.

С2 = АВ, при этом Р(С2) = Р(АВ) = Р(А) -Р(ВА) =

= 0,7 - 0,3 = 0,4.

С3 = АВ, при этом Р(С3) = Р(АВ) = Р(В) - Р(АВ) =

= 0,5 - 0,3 = 0,2.

С4 = А В, при этом Р(С4) = 1 - [Р(СХ) + Р(С2) + Р(СЪ)] =

= 1 - (0,3 + 0,4 + 0,2) = 0,1.

Смоделируем полную группу событий С1} С2, С3, С4 в двух ис-пытаниях. Предварительно на единичном отрезке числовой оси (рис. 4.2) откладываем интервалы А/ = P(Cj), і = 1,4.

А А2 = Р(С2) Аз = Р(С3) А4 = Р(С4)

I 1 1 1 ь

О 0,3 0,7 0,9 1

Рис. 4.2. Интервалы А/ = P(Q

Пусть получены (взяты из таблицы) случайные числа = 0,68 и ?2 = 0,95. Случайное число ^ принадлежит интервалу А2, поэтому при первом испытании имело место событие А, а событие В не наступило. При втором испытании случайное число \2 принадле-жит интервалу А4. Оба события А и В не имели места.

Второй способ. Моделирование совместных событий со-стоит в разыгрывании факта появления каждого из совместных событий отдельно, при этом, если события зависимые, необходимо предварительно определить условные вероятности.

Пример 4.6. Используя условия примера 4.5, смоделируйте раздельное появление событий А и В в одном испытании.

События А и В зависимы, поэтому предварительно находим условные вероятности Р{В/А) и Р{В/А)\

ґ п\

В

Р(АВ) 0,3 3. Р(А) "0,7 "7'

P(Xg) 0,2 Р(В)-Р(АВ) 0,5-0,3 0,2 2 1 Р(А) "1-0,7" 1 " 1-0,7 "0,3"3'

Для моделирования события Л выработаем случайное число Пусть ^ = 0,96, так как ^ > Р04).

Событие Л в испытании не на-ступило.

Теперь разыграем событие В при условии, что событие А в испытании не имело место. Пусть случайное число = 0,22, тогда,

— 2 < Р(В/А), т. е. 0,22< j. Событие В при испытании наступило.

Понятие о моделировании случайных функций. Для моделирова-ния случайных функций используют два способа. В первом из них применяются специальные физические датчики, вырабатывающие непрерывные реализации случайной функции. Физические датчики с помощью специальных фильтров преобразуют собственные шумы в случайные функции с заданными характеристиками.

В основе второго способа моделирования случайных функций лежит использование случайных чисел. При этом получают значения реализации моделируемой случайной функции в изолирован-ных точках. Сущность способа состоит в том, что воспроизведение реализации случайной функции сводится к моделированию систе-мы коррелированных случайных величин.

<< | >>
Источник: Бережная Е.В., Бережной В.И.. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика,2006. - 432 е.. 2006

Еще по теме Моделирование случайных величин.:

  1. III.2. Моделирование экономической преступности в новых экономических условиях (тенденции генезиса экономической преступности в финансово-кредитной системе)
  2. 3.2. Исследование влияния дополнительных погрешностей значений контролируемых параметров на величины ошибок первого и второго рода при косвенном контроле технического состояния ЛТС
  3. 3.5.1 Описание допущений, принимаемых при численном моделировании
  4. Анализ линейных динамических систем, работающих при входныхслучайных воздействиях
  5. 2.4. Моделирование работы подвижного состава с использованием марковских случайных процессов
  6. 4.1. Теоретические основы метода
  7. Моделирование случайных величин.
  8. 4.2. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
  9. 4.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем
  10. Метод корреляционного моделирования
  11. Моделирование простейшего рынка услуг
  12. Проблемы вероятностного моделирования
  13. Свойства дисперсии случайной величины
  14. Тема №14. Статистическое моделирование