Свойства дисперсии случайной величины

Дисперсия постоянной величины равна нулю: D[C\ = 0. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, воз­ведя его при этом в квадрат: D[CX] = ClD[X\.

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий; D[X + У] = D[X] + D[Y].

В общем случае дисперсия суммы случайных величин представ­ляется в следующем виде: D[X + У] = ЩХ] + D[ Т] + 2 Сое [Л', У].

Здесь Cov[X, Y] — показатель ковариации случайных величин А" и К Ковариация служит мерой взаимосвязи случайных величин:

1. Если Cov[X, У] > 0, то случайные величины А и У связаны на­прямую: с ростом величины X величина У также растет с высокой ве­роятностью.

2. Если Cov[X, У] < 0, то случайные величины А и У связаны об­ратно: с ростом величины А величина У убывает с высокой вероятнос­тью.

3. Если Cov[X, У] = 0, то случайные величины А и У независимы. Для характеризации силы взаимосвязи случайных величин А и У

применяется коэффициент корреляции

циент колеблется в пределах от -1 до 1, причем предельные значения свидетельствуют о сильной прямой или обратной взаимосвязи,

12.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Непрерывная случайная величина не может быть охарактеризо­вана таблицей распределения. Необходимо задать функцию распреде­ления F(x) = Р(А < д) либо плотность — f(x) = F(x).

Случайная величина А называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Наиболее часто на практике встречается нормальный закон рас­пределения. Многие признаки подчиняются нормальному закону, на­пример рост человека, среднегодовая температура воздуха и т.п.

нансовом моделировании часто делается логичное предположение о том, что цена на некоторый актив распределена нормально.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон рас­пределения с параметрами а и а2, если ее плотность вероятности имеет вид

Нетрудно доказать, что математическое ожидание нормально рас­пределенной случайной величины равно числу а(ЩХ\ = а), а показатель дисперсии — ct2(D[X] = о2). Таким образом, нормально распределенная случайная величина полностью описывается своим математическим ожиданием и дисперсией.

Обратимся к важной прикладной закономерности, присущей случай­ной величине, распределенной по нормальному закону. В классической теории вероятностей это правило именуется «правилом трех сигм».

Если случайная величина X имеет нормальный закон распределе­ния с параметрами а и о2, то практически достоверно (с вероятностью 99,73%), что ее значения заключены в интервале (а - За, а + Зо).

Более подробно:

1) вероятность попадания в интервал (а - а, а + о) составляет 68,27%;

2) вероятность попадания в интервал (а - 2а, а + 2а) составляет 95,45%.

Напомним, что параметр а соответствует математическому ожи­данию, а о — среднее квадратическое отклонение. Отметим, что эта закономерность была использована Боллинджером при разработке компьютерного индикатора, носящего его имя.

12.3.